No Lineal De Fubini-Tonelli?

Question

Un estudiante planteó la pregunta de hoy: ¿puede un intercambio de las integrales en

$$ \int_0^1 \left(\int_0^x f(y) \, dy \right)^2 \, dx $$

por lo suficientemente agradable funciones de $f$. Me respondió que no, con el razonamiento de que las integrales son fundamentalmente lineal de las operaciones.

Sin embargo, ahora que lo pienso, es posible que algún tipo de no-lineal de la analogía de Fubini-Tonelli existe y yo no soy, simplemente consciente de ello. De hecho, parece bastante plausible que algunos de intercambiar expresión con raíces cuadradas es igual a la expresión de arriba, y tal vez en general algo que implican la inversa de la función no lineal del interior de la integral.

Es alguien consciente de no-lineal de Fubini-Tonelli teorema?

Answer 1

Permítanme estado de Minkowski integral de la desigualdad:

Deje $1\leq p <\infty$. Deje $F$ ser una función medible en el producto espacio de $(X,\mu)\times (T,\nu)$ donde $\mu,\nu$ $\sigma$- finito. Nosotros han

$\left[\int_{T}\left(\int_{X}\left|F(x,t)\right|d\mu(x)\right)^pd\nu(t)\right]^{\frac{1}{p}}\leq\int_{X}\left[\int_{T}\left|F(x,t)\right|^pd\nu(t)\right]^{\frac{1}{p}}d\mu(x)$.

Si puede decirse así, la siguiente prueba es bastante elegante (de hecho, el resultado anterior es el Ejercicio 1.1.6., página 12 de Clásicos de Análisis de Fourier , por Loukas Grafakos, y la prueba a continuación es mi solución a este ejercicio):

Prueba. Deje $G:T\to [0,\infty]$ ser definido por $G\left(t\right)=\int_{X} \left|F\left(x,t\right)\right|d\mu\left(x\right)$. Luego de Minkowski integral de la desigualdad no es sino una reformulación de la afirmación de que $\left\|G\right\|_{L^p\left(T\right)}\leq \int_{X} [\int_{T} \left|F\left(x,t\right)\right|^p d\nu\left(t\right)]^{\frac{1}{p}} d\mu\left(x\right)$. Para demostrar esta afirmación, lo primero que nota el hecho bien conocido de que $\left\|G\right\|_{L^p\left(T\right)}=\sup_{g\in L^{q}\left(T\right)} \left\|Gg\right\|_{L^1\left(T\right)}$; es decir, la norma de $G$ como un operador en $L^q\left(T\right)$ es igual a la $L^p$-norma de $G$. Ahora calcular que para $g\in L^q\left(T\right)$, H\"edad de la desigualdad da

$\left\|Gg\right\|_{L^1(T)} = \int_T \left|\int_X \left|F\left(x,t\right)\right|g\left(t\right)d\mu\left(x\right)\right|d\nu\left(t\right)$ $= \int_X \int_T \left|F\left(x,t\right)\right|\left|g\left(t\right)\right| d\nu\left(t\right)d\mu\left(x\right)$ $\leq \int_X \left\|F\right\|_{L^p\left(T\right)} \left\|g\right\|_{L^q\left(T\right)} d\mu\left(x\right)$ $= \int_X \left(\int_T \left|F\left(x,t\right)\right|^p d\nu\left(t\right)\right)^{\frac{1}{p}} d\mu\left(x\right)$,

donde la segunda igualdad se sigue de que el teorema de Fubini y donde hemos usado la notación $\left\|F\right\|_{L^p\left(T\right)}=\left(\int_T \left|F\left(x,t\right)\right|^p d\nu\left(t\right)\right)^{\frac{1}{p}}$. Esto demuestra Minkowski integral de la desigualdad. Q. E. D.

La idea de la prueba es para quitar los exponentes (por supuesto, en el caso de $p=1$, el resultado es Tonelli del teorema). Esto se puede hacer usando la dualidad. Espero que esto ayude!

Answer 2

El seguimiento de Willie Wong comentario: $$ \begin{align} & \phantom{= {}} \int_0^1 \left( \int_0^x f(y)\,dy \right)^2\,dx = \int_0^1 \int_0^x \int_0^x f(y)f(z)\,dy\,dz \, dx = \int_0^1\int_0^1 \int_{\max\{y,z\}}^1 f(y)f(z)\, dx \, dy\, dz \\ & = \int_0^1\int_0^1 \left( f(y)f(z) \int_{\max\{y,z\}}^1 1\, dx \right) dy \, dz = \int_0^1\int_0^1 f(y)f(z) \left(1-{\max\{\,y,z\,\}}\right) \, dy \, dz. \end{align} $$

La integración con respecto a la $x$ ahora aparece como $1-\max\{\,y,z\,\}$ en el interior; la plaza de la integral con respecto a $y$ ahora aparece como $\int_0^1\int_0^1 \cdots\,dy\,dz$ en el exterior.

En cuanto a las "dimensiones" de la corrección, $dy$$dz$, ambos están en las mismas unidades que $dy$ en la integral original;$f(y)$$f(z)$, ambos están en las mismas unidades que $f(y)$ en la integral original; y $x$ tiene que estar en las mismas unidades que $y$ en la integral original; por lo $x$ está en las mismas unidades de medida $1-\max\{\,y,z\,\}$. De modo que las unidades son de la forma $a^2 b^3$ a ambos lados de la "$=$".