Ejemplos de fórmulas asintóticas con término de error óptimo

Question

Muchos problemas de la teoría analítica de números se refieren al término de error en fórmulas asintóticas. Estos problemas suelen tener la forma: probar que la cantidad teórica de números$f(n)$ satisface$f(n) = G(n) + O(n^{e})$ para algún exponente$e$ donde$G(n)$ es una función elemental. En muchos casos, se conocen los límites inferiores de los valores permitidos de$e$.

¿Cuáles son algunos ejemplos de problemas teóricos de números no triviales, en particular fórmulas asintóticas, donde se conocen los mejores términos / exponentes de error posibles?

Answer 1

Si$r_k(n)$ es el número de representaciones de$n$ como una suma de$k$ cuadrados y$k\geq 5$, entonces la estimación

$\sum_{n \leq X}r_k(n)=C_k X^{\frac{k}{2}}+O(X^{\frac{k}{2}-1})$

se conoce, y es mejor posible, porque$r_k(n) \neq o(n^{\frac{k}{2}-1})$.

Answer 2

Sea$0\le a<b$ y$l(a/b)$ la duración de la expansión de fracción continua$a/b=[0;q_1,\ldots,a_l]$. Luego (consulte Comportamiento asintótico del primer y segundo momento para conocer el número de pasos en el algoritmo euclidiano ) PS

De acuerdo con experimentos numéricos, este término de error es mejor posible hasta una potencia de$$\frac{2}{R(R+1)}\sum_{0\le a\le b\le R}l(a/b)=\frac{2\log2}{\zeta(2)}\log R+C+O(R^{-1}\log ^5R).$. (Hasta ahora no se ha demostrado la optimización).

Answer 3

Probablemente no sea en lo que estabas pensando, pero se conocen versiones muy precisas de la aproximación de Stirling al factorial.