Un haz principal no trivial que satisface el teorema de Leray-Hirsch

Question

¿Cuál es un ejemplo de un haz principal no trivial cuyo espacio de fibras $G$ , espacio total $P$ y el espacio base $M$ son colectores compactos conectados (la fibra $G$ es un grupo de Lie compacto) tal que $$H^*(P,\mathbb{Q})=H^*(G,\mathbb{Q})\otimes H^*(M,\mathbb{Q})$$

Answer 1

Dejemos que $P$ sea cualquier $SU(2)$ -Asamblea sobre $X$ con segunda clase de Chern evanescente $c_2(P)$ . Las hipótesis del teorema de Leray-Hirsch se cumplen si existe una clase en $H^3(P)$ que se limita al generador de $H^3(SU(2))$ . Esto sucede si y sólo si en la secuencia espectral de Leray, el mapa $d_3: H^0(X,H^3(SU(2))) \to H^4(X,H^0(SU(2))$ desaparece (ya que $H^i(SU(2))$ se concentra en grados $0$ y $3$ , por lo que los únicos diferenciales no triviales están en la tercera página). Este mapa es exactamente la clase superior de Chern.

Existen haces complejos de rango 2 no triviales con clases de Chern evanescentes. La desaparición de $c_1$ implica que el $U(2)$ estructura puede reducirse a $SU(2)$ En este punto, el argumento anterior muestra que se satisfacen las hipótesis de Leray-Hirsch.

Answer 2

Supongamos que $M = S^n$ es una esfera con $n$ impar y al menos $5$ . Escoge tu grupo favorito de Lie $G$ para lo cual $\pi_{n-1}(G)$ no es trivial. (Se pueden encontrar muchos ejemplos aquí . Por ejemplo, para cualquier $n > 3$ , $G= SU(\frac{1}{2}(n-1))$ obras). Dado que el principal $G$ -bundles over $M$ se clasifican por $[M,BG]$ que está en biyección con $[S^{n-1},G]$ hay un principal no trivial $G$ -un paquete.

Supongamos que $P\rightarrow M$ es cualquier haz no trivial. Entonces $H^\ast(P;\mathbb{Q})\cong H^\ast(G;\mathbb{Q})\otimes H^\ast(M;\mathbb{Q})$ . Una forma de ver esto es observar que Borel demostró que el haz universal $EG\rightarrow BG$ es totalmente transgresor: los diferenciales que se originan en la fibra son triviales, excepto posiblemente cuando caen en la base. Por tanto, lo mismo debe ocurrir en el haz $P\rightarrow M$ . Pero como el anillo de cohomología racional de $G$ se genera en grados Impares y $H^\ast(M;\mathbb{Q})$ se concentra en grados Impares, todos los diferenciales deben desaparecer.

Answer 3

También hay un ejemplo de baja dimensión. Consideremos el mapa canónico $\mathbb RP^3 \to \mathbb RP^{\infty} \to \mathbb CP^{\infty}$ clasificando el único principal no trivial $S^1$ -unión con la base $\mathbb RP^3$ . Sus secuencias espectrales racionales de Serre colapsan. Por supuesto, su secuencia espectral integral de Serre no colapsa. El espacio total de este haz es el manípulo 4 $E = S^1 \times_{\mathbb Z/2} S^3$ cuyo grupo fundamental es $\mathbb Z$ no $\mathbb Z \times \mathbb Z/2\mathbb Z$ .