¿Qué tienen de especial los axiomas de grupo?

Question

Acabo de empezar a estudiar la teoría de grupos (hasta Lagrange) a raíz de los espacios vectoriales y me siguen pareciendo casi frustrantemente arbitrarios. No estoy seguro de qué es exactamente lo que motivó a los axiomas a definir los grupos.

Mi libro de texto le pide que enumere "características comunes" de los espacios vectoriales y luego define un conjunto de axiomas para los espacios vectoriales bajo adición, multiplicación escalar y ambos, señalando que los axiomas bajo adición forman un grupo abeliano. Entonces, ¿los grupos son sólo una generalización de los espacios vectoriales bajo cualquier operación binaria?

Mi principal problema es que el libro señala que "los axiomas pueden parecer bastante arbitrarios" y relaciona los grupos con los espacios vectoriales, pero no da más detalles.

Al introducir los grupos, se le pide que complete las tablas de Cayley para las simetrías de un triángulo equilátero y un cuadrado. Luego, de manera similar a la entrega de los espacios vectoriales, observa que las tablas tienen propiedades comunes (Cierre, Identidad, inversa y asociación) y define un grupo como un conjunto de elementos bajo una operación binaria que tiene estas características.

Entonces, ¿qué es lo importante de estas 4 propiedades? Por ejemplo, si se excluyeran 1 o 2 propiedades de los axiomas, o se añadieran algunas propiedades adicionales como axiomas, ¿cómo afectaría eso a la eficacia de los grupos?

¿Son los axiomas de grupo alguna vez difíciles de trabajar o siempre funcionan, perdonen la burda analogía de Littlewood, como una llave maestra matemática?

¿Qué tienen estas 4 propiedades que hacen de los grupos una herramienta tan poderosa en matemáticas y física?

Mi mejor opinión es que un grupo es la mejor manera de expresar nuestro sentido de la simetría y lo que es simétrico matemáticamente, pero preferiría alguna elaboración.

Answer 1

Sí, los grupos expresan las simetrías de los objetos. Si quieres que una simetría sea una forma de mapear un objeto en sí mismo que preserve alguna propiedad (digamos, la ubicación de los vértices en un cuadrado, o la distancia entre puntos en el plano,) y quieres que las simetrías sean cosas que puedas (a) encadenar y (b) deshacer, entonces tienes un grupo. (Siempre que se admita también la simetría trivial.) En esta imagen de las simetrías como mapeos, no hay que especificar realmente la asociatividad, ya que es un aspecto natural de cualquier cosa que se parezca a la composición de funciones (más precisamente, de cualquier cosa que encaje en una categoría.)

No hay que pensar que los grupos son sólo generalizaciones de los espacios vectoriales. ¡Cualquier cosa que sea una generalización de un caso es una mala generalización! Los grupos también son generalizaciones de los números (bajo la adición y, en algunos casos, la multiplicación), de las simetrías de los objetos geométricos (tanto de los discretos que mencionas como de los continuos,) y de las funciones, no sólo bajo la adición y la multiplicación sino, críticamente, la composición. Un ejemplo histórico importante fue el grupo de permutaciones de raíces de un polinomio, que se utiliza en la demostración de que las ecuaciones quínticas no pueden resolverse en radicales y ha dado lugar a enormes áreas de la matemática moderna.

En cuanto a la flexibilización y el fortalecimiento de algunos axiomas: si se eliminan los inversos, se obtienen los monoides (semigrupos, si también se elimina la identidad.) Estos son objetos extremadamente importantes por derecho propio, pero son demasiado generales para tener una bonita teoría de la estructura. El mayor problema es con los cocientes: homomorfismos sobreyectivos $G\to H$ corresponden naturalmente a "subgrupos normales" $K\subset G$ es decir, subgrupos con $gKg^{-1}\subset K$ para todos $g\in G$ . No hay una forma tan sencilla de caracterizar los cocientes $M\to N$ de los monoides en términos de submonoides, porque no hay necesariamente una $g^{-1}$ por cada $g$ Por lo tanto, los teoremas de isomorfismo más básicos, que sientan las bases de todo lo que se aprende en la teoría elemental de grupos, ya no son ciertos. Por eso nos gusta usar grupos en lugar de monoides cuando podemos, y muchas cosas reales del mundo vienen como grupos, así que lo hacemos.

Reforzar los axiomas no "paraliza la eficacia" de los grupos tanto como debilitarlos. Entre los objetos sujetos a axiomas que amplían los de un grupo se encuentran los grupos abelianos, los espacios vectoriales, los módulos, los anillos y las álgebras sobre anillos, los grupos topológicos, los grupos de Lie y muchos más, y todos ellos son de gran importancia. Pero hay grupos que no son ninguna de estas cosas, (todo grupo es en algún sentido topológico, pero no siempre queremos pensar en la topología) así que empezamos con un grupo simple y reforzamos los axiomas en contextos apropiados.

Answer 2

A cierto nivel, estas características son arbitrario - los matemáticos estudian muchos objetos que tienen más o menos axiomas que un grupo. Estudian los grupos abelianos (añadiendo el axioma $ab=ba$ ), los monoides (que no necesitan inversos), los bucles (que no necesitan ser asociativos) y otros objetos. Los grupos, desde un punto de vista puramente matemático, son objetos que se comportan bastante bien: no tenemos que poner paréntesis en todas partes (asociatividad), podemos hacer cancelaciones (inversas, identidad) y no hay un mágico "¡oh!, multiplicando esos dos se obtiene algo totalmente diferente" (cierre). A cierto nivel, los grupos son interesantes como objeto bastante general para el que obtenemos muchos resultados interesantes (como el teorema de Lagrange o la clasificación de los grupos simples) que no se mantienen cuando empezamos a quitar axiomas, y añadir más axiomas nos da necesariamente un montón de teoremas extra.

En cuanto a las aplicaciones, los grupos son realmente buenos para captar la noción de simetría. Un concepto de la teoría de categorías que es relevante es el grupo de automorfismos de un objeto . ¿Qué significa esto? En términos generales, un automorfismo es una función que preserva por completo todas las cualidades que nos interesan, como las simetrías de un polígono (o poliedro), que pueden desplazar todos los puntos del espacio ambiente, pero preservar el polígono real. También podemos pensar en que muchos sistemas físicos son invariantes de traslación, rotación o reflexión (o incluso invariantes de tiempo en la física newtoniana), lo que significa que esas funciones preservan todas las leyes del movimiento. Y ocurre que la estructura de los automorfismos (con respecto a la composición) forma un grupo - es cerrado, ya que si $f$ y $g$ preservar todas las propiedades deseadas, entonces hacer $f$ entonces $g$ también debe conservar todo lo deseado. Además, todo automorfismo debe tener una inversa (y ésta es, de hecho, la definición de un automorfismo), ya que si no la tuviera, podríamos concluir que el morfismo ha perdido alguna propiedad. La asociatividad se deduce del hecho de que la composición de funciones es asociativa, y la identidad se deduce del hecho de que el morfismo de identidad, que no cambia nada, es obviamente un automorfismo. Fuera de la teoría de grupos, que estudia los grupos generalmente por estudiar los grupos, ésta suele ser la razón por la que los grupos surgen tanto: ¿quieres conocer las simetrías de un objeto? Pues bien, ¡estamos ante un grupo! (Y, de hecho, todos los grupos pueden interpretarse como un conjunto de funciones cerradas bajo composición - es el teorema de Cayley)

Answer 3

No pienses en un grupo como un espacio vectorial abstraído. Cuando dejas de lado la conmutatividad, acabas con objetos que se comportan de forma muy diferente a los espacios vectoriales.

La heurística que utilizo es que si una operación no es conmutativa, entonces la operación debe pensarse como composición de funciones. Si es conmutativa, hay que pensar en la multiplicación, como los números. Así que si nos limitamos a los grupos abelianos, resulta que en realidad se comportan como espacios vectoriales. De hecho, los grupos abelianos son módulos sobre el anillo $\mathbb Z$ y los espacios vectoriales son módulos sobre un campo $k$ (normalmente $\mathbb R$ o $\mathbb C$ ). Me gusta pensar en los grupos abelianos como si fueran números de conteo, pero en los que se puede considerar la torsión. Un anillo conmutativo, para mí, es una colección de funciones, donde la operación de multiplicación es la multiplicación de los resultados (piensa en $k[x]$ el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en un campo $k$ o $\mathbb Z$ ). Un anillo no conmutativo es una colección de funciones, donde la multiplicación es composición de funciones (piense en $M_{n\times n}$ la colección de todos los $n\times n$ matrices, o la colección de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial de dimensión $n$ con base en sí mismo).

Así que si los grupos son como la composición de morfismos (por ejemplo, funciones), pero los morfismos tienen que ser invertibles, entonces estamos pensando en una colección de isomorfismos (por ejemplo, biyecciones). De hecho, si observamos una categoría (por ejemplo, todos los espacios vectoriales y las transformaciones lineales entre ellos, o los grupos y los homomorfismos de grupo, o los conjuntos y las funciones), y observamos todos los isomorfismos de un objeto, entonces eso satisfará los axiomas de un grupo. De hecho, una forma alternativa de describir un grupo es como una categoría con un objeto, y todos los isomorfismos son isomorfismos. Para mí, esto es el definición de grupo, porque te dice exactamente para qué sirve un grupo. ¿Y qué es un isomorfismo? Es una forma de transformar un objeto, tal que siempre se puede invertir esa transformación. Una simetría.

Para curar la sensación de arbitrariedad, sería bueno tener ejemplos. Así que ya tenemos $Aut(X)$ la colección de automorfismos en $X$ (isomorfismos de $X$ a sí mismo), y de ahí obtenemos el grupo simétrico $S_n$ (automorfismos (o permutaciones) de un conjunto con $n$ elementos), y $GL_n(k)$ que es $Aut(V)$ , donde $V$ es un $n$ -dimensionales $k$ -espacio vectorial. Entonces tenemos subconjuntos útiles de automorfismos, como $SL_n(k)$ , matrices invertibles con determinante 1, y $A_n$ la colección de permutaciones pares sobre un conjunto con $n$ elementos. También tenemos para una extensión de campo $K/k$ (piense en tomar un campo k y añadir algunos elementos para obtener un campo más grande, como tomar $\mathbb R$ y añadir la solución a la ecuación $x^2 + 1 = 0$ para conseguir $\mathbb C$ ) tenemos los automorfismos que fijan el campo subyacente $k$ , $Aut_k(K)$ que surge en la teoría de Galois, donde se buscan permutaciones de raíces de ecuaciones polinómicas (como la conjugación compleja intercambiará las raíces del polinomio anterior manteniendo $\mathbb R$ arreglado).

Me solidarizo con usted. La teoría de grupos no debería enseñarse primero en un curso de álgebra abstracta, porque todos los ejemplos importantes de grupos vienen cuando has visto un montón de teoría más, así que todo el asunto resulta bastante desmotivado. Si lees Visual Group Theory, de Carter, puede que consigas algo de motivación, especialmente si miras la última parte sobre la teoría de Galois. La teoría de Galois es realmente poderosa, y resuelve todo tipo de problemas interesantes que llevaban mucho tiempo sin resolverse antes de la invención de la teoría de Galois. Problemas como la imposibilidad de cuadrar un círculo o de trisecar un ángulo con regla y compás, y de una fórmula para resolver ecuaciones quínticas usando sólo radicales (como en una ecuación cuadrática, pero para polinomios de grado 5). Esta última utiliza vitalmente propiedades del grupo $S_5$ .