(Limite de

Question

Por accidente me encontré con lo siguiente,

PS

donde el numerador es el resto de$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{r=1}^n\frac{n\ (\mathrm{mod}\ r)}{r}=0.4227\ldots\approx 1-\gamma,$ dividido por$n$. ¿Se sabe si tenemos igualdad en la expresión anterior o es solo una coincidencia numérica? ¿Se ha estudiado esto?

Editar: Lo siento por todos los (importantes) errores tipográficos, todo debería arreglarse ahora.

Answer 1

Esto sigue por cálculo elemental: tenemos \begin{align} \sum_{r=1}^n\frac{n\bmod r}r&=\sum_{r\le n}\frac nr-\sum_{r\le n}\left\lfloor\frac nr\right\rfloor\\\\ &=nH_n-|\{(r,s)\in\mathbb N^2:1\le rs\le n\}|\\\\ &=nH_n-2\sum_{r\le\sqrt n}\left\lfloor\frac nr\right\rfloor+\lfloor\sqrt n\rfloor^2\\\\ &=nH_n-2nH_{\lfloor\sqrt n\rfloor}+n+O(\sqrt n), \end{align} por lo tanto \begin{align} \frac1n\sum_{r=1}^n\frac{n\bmod r}r&=H_n-2H_{\lfloor\sqrt n\rfloor}+1+O(n^{-1/2})\\ &=\log n+\gamma-2\log\lfloor\sqrt n\rfloor-2\gamma+1+O(n^{-1/2})\\\\ &=1-\gamma+O(n^{-1/2}). \end{align}