Sea$r \ge 3$ un número entero fijo. Me interesan los números primos p tales que ningún número entero en el intervalo$(-\sqrt{p}, \sqrt{p})$, excepto$1$ (y$-1$ si$r$ es par), es una raíz r-ésima de unidad módulo p.
La ingenua heurística de que$r$ - th raíces de la unidad deben estar "distribuidas aleatoriamente" sugiere que debe haber infinitos números primos de este tipo y, de hecho, deben tener densidad 1 entre todos los primos. ¿Se puede hacer esto riguroso?
OK, pensando un poco más claramente sobre esto ... (con suerte) Digamos que$p\le N$ no tiene la propiedad que desea. Entonces$p | n^r-1$ para algunos $|n| < \sqrt{p} \le \sqrt{N}$. Solo hay$O(\sqrt{N})$ enteros de la forma$n^r-1$ con$n$ en este rango, y cada uno tiene solo$O(\log{N})$ factores primos. Por lo tanto, solo hay$O(\sqrt{N} \log{N})$ primos excepcionales$p \leq N$, que son pequeños en comparación con$\pi(N)$.
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