Una expresión elemental para %-%-%

Question

Considere la siguiente serie: $$S=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\ \Gamma\left(\frac{5}{4}+n\right)}{n^2\ \Gamma(n)}.$$ Se puede expresar en términos de una función hipergeométrica: $$S=-\frac{5}{16}\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)\ { _3F_2}\left(1,1,\frac{9}{4};2,2;-1\right).$$ Traté de encontrar una expresión de %-%-% usando funciones elementales y terminé con esta conjetura: %-%%1800$ dígitos decimales de precisión.

Ahora estoy buscando una manera rigurosa de probar esta fórmula. ¿Puede sugerir alguna idea de cómo hacerlo?

Answer 1

Utilice la fórmula 16.5.2 de DLMF: $$_3F_2-izquierda(1,1,-frac94;2,2;-1-derecha)-int_0-1-_2F_1-izquierda(1,-frac94;2;-t-derecha)dt-frac45-int_0 1-frac-1-(1+t)-5/4-tdt-frac{2}{5}-left(8-4-sqrt[4]{8}+-pi-6-ln2+4 -ln (1+-sqrt[4]{2})-4 -arctan-sqrt[4]{2}+2-ln(1+-sqrt2)-right).$$ Algunas transformaciones elementales muestran que este resultado es equivalente a su conjetura.