El principio de reflexión de Schwarz para un círculo

Question

Estoy trabajando en el siguiente ejercicio (no es una tarea) del texto de Ahlfors:

" Si $f(z)$ es analítico en $|z| \leq 1$ y satisface $|f| = 1$ en $|z| = 1$ , demuestran que $f(z)$ es racional".

Ya conozco el principio de reflexión para el caso de un semiplano, así que he intentado utilizar la "transformada de Cayley" $$T (\zeta)=\frac{\zeta-i}{\zeta+i}$$ Que mapea el semiplano superior cerrado en el disco unitario cerrado con $1$ eliminado.

He definido $$g(\zeta)=(T^{-1} \circ f \circ T)(\zeta)=i\frac{1+f \left( \frac{\zeta-i}{\zeta+i} \right)}{1-f \left( \frac{\zeta-i}{\zeta+i} \right)},$$ Y trató de aplicar el principio de reflexión en el libro. $g$ es efectivamente analítica en el semiplano superior, pero para $\zeta \in \mathbb R$ Me temo que $g$ puede llegar a ser infinito (porque en el límite, $f$ toma valores en el círculo unitario). Si es así, no será continua y ni siquiera real, y el principio de reflexión no es aplicable.

¿Me estoy perdiendo algo? Después de todo, Ahlfors menciona en el texto un principio de reflexión generalizado para círculos arbitrarios $C,C'$ .

Gracias

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que la hipótesis implica que $f$ sólo tiene un número finito de ceros en el disco unitario $\mathbb{D}$ , digamos que $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ . Consideremos ahora la función $$B(z):=\prod_{j=1}^n \frac{z-\alpha_j}{1-\overline{\alpha_j}z}.$$ Este es un producto finito de Blaschke y $|B(z)| =1$ para todos $z \in \partial \mathbb{D}$ . Desde $B$ tiene los mismos ceros que $f$ se deduce que tanto $f/B$ y $B/f$ son analíticas en $\mathbb{D}$ y continua en $\overline{\mathbb{D}}$ . Por el principio de máximo aplicado a ambos cocientes, deducimos que $|f/B|=1$ en todas partes en $\mathbb{D}$ para que $f/B$ es una constante unimodular $\lambda$ por el teorema del mapa abierto. Por lo tanto, $f= \lambda B$ una función racional.

Answer 2

En la situación dada, podemos proceder directamente. La reflexión en el círculo unitario viene dada por

$$\rho(z) = \overline{z}^{-1},$$

por lo que al establecer

$$g(z) = \frac{1}{\overline{f(\overline{z}^{-1})}},$$

obtenemos una función $g$ que es meromorfa en el exterior del disco unitario. Dado que $f$ sólo puede tener un número finito de ceros en $\mathbb{D}$ , $g$ sólo tiene polos finitos en $\hat{\mathbb{C}} \setminus \overline{\mathbb{D}}$ ,

y como $\lvert f(z)\rvert = 1$ para $\lvert z\rvert = 1$ la función

$$h(z) = \begin{cases}f(z) &, \lvert z\rvert \leqslant 1\\ g(z) &, \lvert z\rvert > 1\end{cases}$$

es continua (fuera de los polos, ninguno de los cuales se encuentra en $\partial \mathbb{D}$ ), y holomorfo fuera de $\partial \mathbb{D} \cup \{\text{poles}\}$ . Por una pequeña modificación del teorema de Morera (se puede mapear cada arco del círculo al eje real mediante una transformación de Möbius), es meromorfo en todo $\hat{\mathbb{C}}$ por lo tanto, racional.

También se puede utilizar la transformada de Cayley como se empezó, si $f$ no es constante, entonces $f$ puede tomar el valor $1$ sólo con una frecuencia finita en $\partial\mathbb{D}$ y $g = T^{-1}\circ f \circ T$ sólo tiene un número finito de polos en $\mathbb{R}$ y un polo o una singularidad removible en $\infty$ en cada intervalo entre dos polos, se puede aplicar el principio de reflexión ultra clásico para ver que $g$ puede extenderse por reflexión a una función meromorfa sobre $\hat{\mathbb{C}} \setminus \{\text{poles}\}$ Por lo tanto, es racional.