Puntos enteros en la curva elíptica $y^2=x^3+17$ .

Question

Me encontré con el problema "encontrar todas las soluciones enteras a $y^2=x^3+17$ ."

He probado varias cosas, sin ningún éxito, y esperaba que alguien pudiera ayudar. (Se agradece alguna idea o una referencia de dónde encontrarlo)

Por cálculo numérico he encontrado que los siguientes puntos enteros $(x,y)$ se encuentran en la curva

$(-1,4)$ , $(-2,3)$ , $(2,5)$ , $(4,9)$ , $(8,23)$ , $(43,282)$ , $(52,375)$ , $(5234,378661)$ y esto es probablemente todo.

Gracias

Answer 1

Existe un método estándar para calcular todos los puntos integrales de una curva elíptica utilizando los límites de David y la reducción de la red. El método se puede encontrar en el libro Nigel Smart, "The Algorithmic Resolution of Diophantine Equations", Cambridge University Press.

Este método está implementado en varios paquetes de álgebra computacional, incluyendo magma. Si escribes:

E:=EllipticCurve([0,0,0,0,17]); PuntosIntegrales(E);

en la calculadora de magma en línea en http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/

dará los ocho puntos que ya has encontrado.

Answer 2

Esto se aborda en: Puntos enteros de una curva elíptica

Answer 3

Uspensky y Heaslet, Elementary Number Theory, publicado en 1939, atribuye a Delaunay (en la página 400) la demostración de que $y^2=x^3+17$ sólo tiene las ocho soluciones, y continúa diciendo: "Que su método funcione siempre sigue siendo una cuestión abierta, y el problema, a pesar de su apariencia sencilla, es muy difícil". No se cita ninguna referencia