Me gustaría entender este concepto. Parece ser importante (para la teoría de las láminas perversas), pero no conozco ninguna exposición agradable de las propiedades de las láminas lisas.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Voy a dar una respuesta, sólo porque estoy interesado en perseguir estas referencias a mí mismo. Pero todo lo que estoy haciendo es reunir referencias. Supongo que BCnrd me mantendrá honesto. [21 de julio: He añadido algunas observaciones sobre la constructibilidad, para hacer esto más útil (al menos para mí)].
Como soy un geómetra complejo más que un aritmético, permítanme empezar con el primer caso por intuición. Si $X_{an}$ es una variedad compleja (conectada) dotada de la topología clásica, entonces se sabe que las representaciones de la $\pi_1(X_{an},x)$ corresponden a gavillas localmente constantes en $X_{an}$ . Esto es clásico. Una buena fuente de ejemplos son los siguientes si $f:Y\to X$ es un mapa propio suave y suryente, entonces es topológicamente un haz de fibras (Ereshmann). Por lo tanto, $R^if_*\mathbb{Z}$ es localmente constante. El correspondiente $\pi_1(X)$ -es la representación monodromática. La afirmación más general que se puede hacer, sin hacer ninguna suposición en $f$ es que la imagen directa adecuada $R^if_!\mathbb{Z}$ es construible. Nótese que la constructibilidad puede significar diferentes cosas en el mundo topológico. La mejor noción (desde mi punto de vista) es lo que a veces se llama constructibilidad algebraica: existe una partición de la base en estratos localmente cerrados de Zariski tal que las restricciones de la gavilla son localmente constantes. La única referencia que conozco que adopta este punto de vista es la de Verdier, Clase de homología asociada a un ciclo . Si la gente conoce otras fuentes, por favor hágamelo saber.
Sorprendentemente, los resultados análogos se mantienen en el $\ell$ -adicto caso, aunque por razones diferentes. Dejemos que $X$ sea una variedad sobre algún campo. Un lisse (resp. constructible) $\ell$ -la gavilla de la adicción es ahora una gavilla de la prosecución $$\ldots \mathcal{F}_n\to \mathcal{F}_{n-1}\ldots $$ en el sitio de etale $X_{et}$ tal que cada elemento anterior es una constante local (resp. construible) $\mathbb{Z}/\ell^n$ -módulo, etc. (véase Freitag-Kiehl, pp 118-131, para las condiciones precisas). Para las láminas de lisse, cada $\mathcal{F}_n$ da una representación del grupo fundamental etale $$\pi_1^{et}(X,x)\to GL_N(\mathbb{Z}/\ell^n)$$ ( $x$ un punto geométrico). Así, pasando al límite, obtenemos una representación continua $$\pi_1^{et}(X,x)\to GL_N(\mathbb{Z}_\ell)$$ Esta constucción es una equivalencia [FK,p 286].
El resultado correspondiente que $R^if_*\mathbb{Z}_\ell$ es lisse, cuando $f$ es suave, propia y suryectiva, debería seguirse del Teorema 20.2 de Milne "Lectures on etale cohomology" de su página web. La contrariedad de $R^if_!\mathbb{Z}_\ell$ se desprendería de SGA4 exp XIV 1.1 (Debería estar en [FK,M], pero probablemente no busqué lo suficiente).
Cuando $X$ se define sobre $\mathbb{C}$ se puede comparar la cohomología para el clásico y etale con coeficientes generales aplicando SGA4 exp XVI 4.1 y tomando límites inversos. Un resultado de comparación más resultado de comparación más general para las "6 operaciones" se da en [Beilinson-Bernstein-Deligne p 150], pero la prueba parece un poco incompleta. Observación añadida el 22 de julio: Desgraciadamente, esta parte de la historia parece estar inadecuadamente en la literatura. Véase el comentario de BCnrd más abajo.
