Hola estoy tratando de integrar un registro trigonométricas integral dada por $$ I:=\int_0^{\pi/2}\log^4 \tan \frac{x}{2}dx=\frac{5\pi^5}{32}. $$ Esto es muy similar a la anterior integral publicado, excepto el poder del logaritmo. Nota: esta integral es también igual a la $$ \int_0^{\pi/2}\log^4 \tan x \, dx=\frac{5\pi^5}{32}. $$ He escrito que como $$ I=\int_0^{\pi/2} \left(\log \sin \frac{x}{2}-\log \cos \frac{x}{2}\right)^4 dx $$ pero se quedó atascado aquí desde el factoring esto parece un lío. Después de haber visto cómo David H resuelto similar integral que he publicado, he probado otro método de partida con el yo y el uso de $t=\tan x/2$, y se obtuvo $$ I=2\int_0^{1}\log^4 t \frac{dt}{1+t^2}. $$ Después de este traté de $u=-\log t$, pero se quedó atascado después de esto. Gracias, sería agradable ver a una solución que no reduzca la integral a una difícil suma a evaluar
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Este post y los comentarios relacionados y las respuestas son muy interesantes y permiten la generalización del problema a $$I(n)=\int_0^{\pi/2}\log ^n\left[\tan \left(\frac{x}{2}\right)\right]dx$$ for which the result is $$I(n)=(-1)^n 2^{-2 n-1} \left[\zeta \left(n+1,\frac{1}{4}\right)-\zeta \left(n+1,\frac{3}{4}\right)\right] \Gamma (n+1)$$ When $n$ is even, one can find the "simple" formulas $$I(0)=\frac{\pi}{2}$$ $$I(2)=\frac{\pi ^3}{8}$$ $$I(4)=\frac{5 \pi ^5}{32}$$ $$I(6)=\frac{61 \pi ^7}{128}$$ $$I(8)=\frac{1385 \pi ^9}{512}$$ $$I(10)=\frac{50521 \pi ^{11}}{2048}$$ y así sucesivamente.
Al $n$ es impar, todos los valores son negativos y no puede ser expresada en cualquier forma, más sencilla que la de $\zeta$ función.
