Pregunté esto en math.stackexchange.com, pero no obtuve respuestas. Vamos a $(X,B,\mu)$ sea un espacio de probabilidad. Sea $T,S:XX$ sean dos mapas medibles que preservan la medida y que conmutan (es decir $TS=ST$ ). Sea $A$ sea una partición (mensurable contable) de $X$ . Demuestre que $h(ST,A)h(S,A)+h(T,A)$ . Si $S=T$ es bastante fácil. No pude llegar más lejos. Cualquier ayuda/referencia será apreciada. Gracias.
Respuesta
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Hay una buena razón por la que tuvo dificultades para demostrarlo.
Esta era una vieja cuestión de Rohlin (MR0126526) que fue refutada por primera vez en el entorno topológico por Goodwyn (MR0314023) y más tarde de forma independiente por Thouvenot y Ornstein. Un ejemplo explícito aparece en el artículo de Ornstein y Weiss (MR0910005; página 133); este artículo debería ser relevante para usted de muchas maneras diferentes si está interesado en estas cosas.
Dicho esto, hay muchos contextos (suaves) en los que esta propiedad sí se cumple (MR2690742); en particular, consideremos los automorfismos conmutativos del toroide (es un ejercicio sencillo).
Avísame si tienes problemas para encontrar los documentos.
