¿es cierto que cualquier polinomio numérico , es decir $f(t)\in \mathbb Q[t], f(n)\in\mathbb Z\ \forall n\in\mathbb Z\ $ puede presentarse como polinomio de Hilbert de alguna variedad?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Este documento (Proposición 1.3) da una condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea el polinomio de Hilbert de un esquema proyectivo.
sickgemini
Puntos
2001
La respuesta de Steven Landsburg resuelve completamente el problema para los esquemas. Me he dado cuenta de que has pedido una variedad, que es más restrictiva. Por ejemplo, $2t+2$ es el polinomio de Hilbert de un par de líneas inclinadas, pero no es el polinomio de Hilbert de ninguna variedad irreducible. Dicha variedad tendría que ser de grado $2$ curva, observando el coeficiente principal, y esta curva tendría que tener género $-1$ por Riemman-Roch, una contradicción. Igualmente, $2 \binom{t+2}{2} -1 = t^2+3t+1$ es el polinomio de Hilbert de dos $\mathbb{P}^2$ que se encuentran transversalmente como un punto y creo que no es el polinomio de Hilbert de ninguna variedad irreducible.
