¿Son las unidades de anillos de funciones sobre variedades algebraicas generadas finitamente (mod. constantes)?

Question

Hola,

Considere la siguiente pregunta. Sea $A$ sea un álgebra reducida finitamente generada sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ . Considere el grupo de unidades de $A$ , modulando el grupo $k^*$ . ¿Este grupo está siempre generado finitamente?

Hay que reconocer que no he pensado seriamente en esa pregunta, pero me encantará escuchar la respuesta.

Gracias, Sasha

Answer 1

Como siempre, la versión de geometría algebraica es más fácil que la de teoría de números. Por conveniencia (que puede ser ajustada) permítanme asumir que $A$ es el anillo de coordenadas de un conjunto abierto afín de una variedad proyectiva lisa $X$ y que $K$ sean las funciones racionales sobre $X$ . Entonces tenemos el mapa natural $K^*\to \mathrm{Div} X$ dado por el divisor de una función. Sea $D_1,\ldots, D_n$ sean los divisores en el infinito. El núcleo del mapa anterior es simplemente $k^*$ y un elemento de $A$ es una unidad si y sólo si su divisor se apoya totalmente en la $D_i$ 's. Así, vemos que $A^*/k^*$ es un subgrupo del grupo abeliano libre finitamente generado por el $D_i$ 's.

Answer 2

Traduzco al inglés el lema 6.5 del artículo de Sansuc Grupo de Brauer y aritmética de grupos sobre un campo de números , J. reine angew. Math. 327 (1981), 12-80, escanear aquí .

Dejemos que $X$ sea una variedad algebraica sobre un campo arbitrario $k$ , es decir, una integral geométrica algebraica $k$ -esquema. Denotamos $ U(X) := k[X]^* / k^* $ , el grupo de unidades del anillo de funciones regulares $k[X]^*$ módulo de constantes no nulas.

Teorema de Rosenlicht: Dejemos que $X$ y $Y$ sean dos algebraicas $k$ -variedades y $G$ sea una algebraica lineal, lisa y conectada $k$ -grupo, .

(i) $U(X)$ es un grupo abeliano libre finitamente generado;

(ii) $U(X\times_k Y)=U(X)\oplus U(Y)$ ;

(iii) $U(G)=\hat{G}(k)$ (el grupo de $k$ -caracteres de $G$ ).

Referencia: M. Rosenlicht, Grupos algebraicos toroidales , Proc. AMS 12 (1961), 984-988, escanear aquí . Para otras referencias, véase el documento de Sansuc.

(i) responde a la pregunta. La prueba de Rosenlicht de (i) se acerca a la respuesta de Mohan.

Answer 3

Sí. Véase el comienzo de la sección 3 de "Compactificaciones de subvariedades de tori" por Jenia Tevelev. Tiene un dominio integral finitamente generado $A$ (lo llama $\mathcal O(X)$ ) sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ y afirma que es "bien sabido" que $A^\ast/k^\ast$ es un grupo libre finitamente generado. He buscado un poco en Google y he encontrado otras afirmaciones de este resultado, pero no he podido encontrar una referencia mejor.

Obsérvese que si se acepta la afirmación para dominios integrales, no es difícil demostrarla para álgebras reducidas de forma más general.

Answer 4

Yo también creo que la respuesta es "sí" y tampoco he dado con una referencia precisa. Sin embargo, he encontrado un buen análisis del grupo de unidades relativas $R^{\times}/k^{\times}$ en el caso $R = k[X]$ es el anillo de coordenadas de una curva regular e integral afín sobre un campo arbitrario $k$ en el siguiente documento:

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Rosen, Michael $S$ -unidades y $S$ -grupo de clases en campos de funciones algebraicas. J. Algebra 26 (1973), 98--108.

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Parece vagamente plausible que se pueda utilizar esto para demostrar el caso general (integral) mediante algún argumento fibroso, pero no lo he pensado bien.