Número máximo de pares de vectores ortogonales en un conjunto de $n$ vectores en $\mathbb{R}^3$

Question

Supongamos que nos dan un conjunto de $n$ vectores no nulos en $\mathbb{R}^3$ . ¿Cuál es el número máximo de pares que son ortogonales? La conjetura actual es $\le 2n$ .

EDIT: Se me olvidó añadir que no debe haber dos vectores colineales.

Answer 1

El máximo es $cn^{4/3}$ para alguna constante $c$ .

También podemos suponer que todos nuestros puntos están en la esfera unitaria $S$ . Sea $P$ ser algún plano que no contenga el origen, que podríamos considerar lejano. Para cada punto $x\in S$ en nuestra colección deje que $p_x$ sea la intersección de la línea que pasa por $0$ y $x$ con $P$ y que $\ell_x$ sea la intersección del hiperplano ortogonal a $x$ con $P$ . A menos que $P$ fue elegido por sus enemigos entonces todas estas cosas están bien definidas. Tenga en cuenta que $p_x\in\ell_y$ si $x$ y $y$ son ortogonales, por lo que la ortogonalidad en nuestra colección original se convierte en incidencia en nuestra nueva colección, y por el teorema de Szemeredi-Trotter hay como máximo $O(n^{4/3})$ incidencias.

Para ver que existe una construcción con este número de pares ortogonales, tomemos algún ejemplo que muestra que Szemeredi-Trotter es ajustado, y tal que hay tantos puntos como líneas, y leer el párrafo anterior al revés. Si $P$ está lejos, entonces este ejemplo consistirá en dos colecciones de aproximadamente $n/2$ puntos cuidadosamente agrupados alrededor de algunos dos puntos ortogonales de $S$ .

Leí esta construcción en el siguiente trabajo de Erdos, Hickerson y Pach, que también contiene referencias a muchas otras cosas. Véase el teorema 2(ii) para este problema.

http://www.renyi.hu/~p_erdos/1989-02.pdf