Dejemos que $X$ sea la suma en cuña de dos $2$ -Esferas de dimensiones y $f$ una función continua de $X$ en $X$ . Hace $f$ ¿tiene un punto fijo o un punto periódico de orden 2? Gracias
Respuesta
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Caroline Even
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El comentario de Will muestra que la acción de $f$ en $H^2$ es de orden 3 (los valores propios son las terceras raíces de la unidad no triviales) y algo así como $\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$ . Así que pensé que que había que intentar una construcción con raíces terceras de la unidad realizando esto.
Escribe la cuña como $S^1 \times [0,2] / \sim $ donde se identifica $(s,0)\sim (s',0), (s,1)\sim (s',1), (s,2)\sim (s',2)$ .
Dejemos que $\zeta$ sea una tercera raíz de la unidad, y definir
$f: S^1 \times [0,2] / \sim\ \to \ S^1 \times [0,2] / \sim$
por
$f(s,t)=(\zeta s, 2-2t)$ para $t\le 1$ y $f(s,t)=(\zeta s, t-1)$ para $t\ge 1$
Obsérvese que los tres puntos en los que $t=0,t=1,t=2$ se permutan cíclicamente. Esto implica $f$ y $f^2$ no tienen puntos fijos (para todos los demás puntos el $\zeta$ respectivamente $\zeta^2$ factor funciona).
Obsérvese también que la multiplicación por $\zeta$ no es realmente necesario, casi cualquier rotación del círculo estaría bien. La multiplicación por $\zeta$ permite $f^3$ para estar cerca de la identidad. Si se utiliza una rotación diferente, los tres puntos con $t=0,t=1,t=2$ son los únicos puntos fijos.
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¿Hay algún ejemplo en el que $f$ no tiene punto fijo?
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@Noam: Sí. En una esfera, envía cada punto a su antípoda. Envía todo lo demás a la antípoda del punto base.
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Por la fórmula de la traza de Lefschetz, si $M$ es el $2 \times 2$ matriz que da la acción de $f$ en $H^2$ entonces $tr(M)=-1$ y $tr(M^2)=-1$ Así que $tr(M)^2-2 det (M) = -1$ Así que $det(M)=1$ .
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@Will No sé qué estás diciendo, ¿sí o no?
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@PedroPerez El argumento de Will dice que si $f$ es un auto-mapa tal que ni $f$ ni $f^2$ tiene un punto fijo, entonces $f$ debe actuar con determinante uno en $H^2(X)\simeq\mathbb{Z}^2$ . En particular, $f$ debe ser una equivalencia homotópica. No creo que Will esté haciendo ninguna afirmación sobre si tal mapa $f$ existe.