Extensión de paquetes $G$

Question

Sea $S$ una superficie suave (digamos sobre un campo algebraicamente cerrado) y sea $D$ un divisor suave en $S$. También sea $G$ un grupo algebraico conectado. Supongamos que se nos da un fibrado principal $G$-${\mathcal F}$ en $S\backslash D$. ¿Bajo qué condiciones podemos extenderlo a todo $S$? ¿Entiendo correctamente que esto siempre ocurre cuando el grupo derivado $[G,G]$ es simplemente conexo?

Answer 1

Nick Shepherd-Barron una vez me hizo esta pregunta, y creo que puedo recordar lo que se concluyó finalmente.

La respuesta breve a la pregunta original es negativa para el grupo aditivo $\mathbb{G_a}$. Mapea $SL_2(\mathbb{C})$ a $X=\mathbb{C}^2-(0,0)$ dejando actuar una matriz sobre el vector $(1,0)^T$. Esto realiza al grupo como un torseur sobre $X$ para el grupo de matrices unipotentes \[ \begin{pmatrix} 1 & a \\\\ 0& 1 \end{pmatrix}. \] Podemos trivializarlo sobre los vectores $(v_1,v_2)^T$ con $v_1\neq 0$ con la sección \[ \begin{pmatrix} v_1 & 0 \\\\ v_2& v_1^{-1} \end{pmatrix},\] mientras que se trivializa en el conjunto $v_2\neq 0$ a través de la sección \[\begin{pmatrix} v_1 & -v_2^{-1} \\\\ v_2& 0 \end{pmatrix}.\] La función de transición en la intersección se calcula fácilmente como \[\begin{pmatrix} 1 & (v_1v_2)^{-1}\\\\ 0& 1 \end{pmatrix}.\] Esto representa el generador estándar no trivial de $H^1(O_X)$, y por lo tanto, el haz es no trivial. Por otro lado, si pudieras extenderlo a $\mathbb{C}^2$, se trivializaría, ya que no hay haces no triviales de $\mathbb{G}_a$ en una variedad afín.

De hecho, hay una correspondencia entre haces principales y funtores tensoriales de representaciones a haces vectoriales. Pero si recuerdo correctamente, se requiere que el funtor sea exacto. En el caso en cuestión, la extensión de haces vectoriales es la imagen directa con respecto a la inclusión $X\hookrightarrow \mathbb{C}^2$, que falla en esto.

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Agregado: Bien, veo que esto fue simplemente una manera elaborada de decir: toma cualquier haz principal $\mathbb{G}_a$ correspondiente a un elemento no nulo de $H^1(O_X)$. De todas formas, nota que el grupo derivado es trivial en este ejemplo. Ciertamente la afirmación es falsa para grupos conectados generales, contrario a algunos de los comentarios.

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Agregado, 25 de noviembre de 2011:

Esta pregunta regresó a mí hoy mientras pensaba en algo no relacionado. Se me ocurrió entonces señalar que para el ejemplo anterior, si trabajamos en la categoría analítica, tenemos $$H^1(X, \mathbb{G}_a)\simeq H^1(X, \mathbb{G}_m),$$ a través de la secuencia exponencial. Por otro lado, $$H^1(\mathbb{C}^2, \mathbb{G}_a)=H^1(\mathbb{C}^2, \mathbb{G}_m)=0.$$

Por lo tanto, la propiedad de extensión deseada es falsa en espacios analíticos incluso para grupos estructurales reductivos.

Answer 2

Espera, ¿estás asumiendo que G es un grupo reductivo cuyo grupo derivado es simplemente conexo? En ese caso, creo que la Conjetura II de Serre implica que el torsor de G es trivial sobre un subconjunto de Zariski abierto denso de S. Por lo tanto, puedes extenderlo a través de los puntos de codimensión 1 como un torsor trivial.

P.D. Disculpa por escribir esto como una respuesta independiente, en lugar de una respuesta al comentario de Sasha, pero no sé cómo hacer respuestas en MathOverflow (tal vez necesitas estar registrado).

Answer 3

Para la extensión a través de puntos de codimensión 2, en el caso de un grupo reductivo, se puede usar el teorema de Hartog / extensión de S_2. Como sugiere t3suji, se incrusta G en GL_n y se extiende primero el bulto GL_n a un bulto E definido sobre todo S. A través de su incrustación en GL_n, G actúa en E. Forme el espacio cuociente E/G. Luego, la estructura original del bulto G lejos de D da una sección racional de E/G. Dado que G es reductivo, E/G es afín sobre S. Entonces, si extiendes tu sección de E/G en puntos de codimensión 1, entonces el teorema de Hartog se extiende a través de puntos de codimensión 2. Y la imagen inversa de esta sección de E/G en E es una extensión de tu bulto original de G.

Answer 4

Solo una idea rápida sobre cómo procedería si el campo fuera $\mathbb{C}$. Veamos $S=S\setminus\mathcal{N}(D)\cup \mathcal{N}(D)$ donde $\mathcal{N}(D)$ es un vecindario normal de $D$. Tienes un fibrado principal $G$ $\mathcal{F}$ sobre $S\setminus\mathcal{N}(D)$ y quieres extenderlo a todo $S.

Básicamente podrías hacerlo si hay un fibrado principal $G$, $P$, sobre $S$ tal que $\pi^*(P)=\mathcal{F}\vert_{\partial\mathcal{N}(D)}$ donde $\pi$ es la proyección natural de $\partial\mathcal{N}(D)$ en $D$.

Tengo la sensación de que la única obstrucción es que $\mathcal{F}$ debe ser trivial cuando se restringe a las fibras del vecindario normal unitario de $D$ en $S.

Como estamos hablando de superficies, entonces $S$ tiene dimensión real $4$, si $D$ tiene dimensión real $2$, entonces esas fibras tienen dimensión $1$. Y dado que asumiste que $G$ estaba conectado, entonces necesariamente es trivial en las fibras...

Esto es solo una reflexión, tal vez estoy equivocado...