Restricción de " $\pi_{1}$ " a los grupos topológicos

Question

Dejemos que $G$ y $H$ sean dos grupos topológicos. Supongamos que $\phi:\pi_{1}(G) \to \pi_{1}(H)$ es un homomorfismo de grupo. ¿Existe una función continua $f:G\to H$ tal que $f_{*}=\phi$ ?

Answer 1

No. Toma $G=SO(5)$ y $H=SO(3)$ , ambos con grupo fundamental $\mathbb{Z}/2$ . Afirmo que no hay un mapa continuo $f: G\to H$ que induce el homomorfismo de identidad.

Si lo hubiera, entonces $f$ induciría un homomorfismo no trivial $f_\ast: H_1(G;\mathbb{Z}/2)\to H_1(H;\mathbb{Z}/2)$ y un homomorfismo de anillo graduado $f^\ast: H^\ast(H;\mathbb{Z}/2)\to H^\ast(G;\mathbb{Z}/2)$ que no es trivial en $H^1$ . Para ver que no existe tal homomorfismo de anillo, recordemos (ver Topología Algebraica de Hatcher, sección 3.D) que $$H^\ast(H;\mathbb{Z}/2)\cong \mathbb{Z}/2[\alpha_1]/(\alpha_1^4)$$ y $$H^\ast(G;\mathbb{Z}/2)\cong \mathbb{Z}/2[\beta_1]/(\beta_1^8)\otimes\mathbb{Z}/2[\beta_3]/(\beta_3^2),$$ donde cada $\alpha_i,\beta_i$ está en grado $i$ .

Answer 2

No siempre. Toma $G=H=\mathrm{PGL}(n,\mathbb{R})$ con $n\geq 7$ . Todo homomorfismo continuo no trivial $G\rightarrow G$ es un automorfismo de Lie; el grupo de tales automorfismos está generado por automorfismos internos y $A\mapsto {}^tA^{-1} $ , por lo que actúa sobre $\pi _1(G)$ a través de { $\pm 1$ }. Por otro lado $\pi _1(G)=\mathbb{Z}/n$ tiene automorfismos $\neq \pm 1$ .

Editar : Lo siento, interpreté mal la pregunta - esto responde a una pregunta diferente.