Me gustaría saber qué tipo de análogos del teorema de desaparición de Kodaira son válidos para las variedades singulares. Por ejemplo, ¿es cierto lo siguiente: sea $X$ sea una variedad proyectiva de Gorenstein y sea $\omega_X$ sea su haz canónico. ¿Es cierto que $H^i(L\otimes \omega_X)=0$ para $i>0$ para un haz de líneas amplio $L$ ?
Respuestas
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No. El siguiente contraejemplo se debe a Sommese:
Dejemos que $Y$ sea el haz proyectivo $\pi:\mathbb{P}(O\oplus O(1)^{\oplus 3})\to \mathbb{P}^1$ . Sea $M$ sea el haz tautológico en $Y$ y tomar un miembro general $X\in|M\otimes \pi^*O(-1)^{\oplus 4})|$ . Entonces $X$ es un triplete normal, proyectivo y de Gorenstein. Si $L$ es el brote de la línea $M\otimes \pi^*O(1)$ También se puede comprobar que $H^1(X,O(K_X+L))=\mathbb{C}$ .
Sin embargo, se sabe que el teorema de desaparición de Kodaira se cumple si $X$ tiene singularidades lógicas canónicas. También hay versiones más débiles en el teorema del artículo 'D. Arapura y D. B. Jaffe Sobre la desaparición de Kodaira para variedades singulares Proc. A.M.S, 105, nº 4, pp. 911-916, 1989.
Karl Schwede
Puntos
14702
En efecto, como señala JC Ottem, Kodaira se mantiene para las singularidades log canónicas (incluso semilog canónicas). También hay una manera de deducir rápidamente que la fuga de Kodaira es válida para las singularidades de Du Bois (ya sea a partir del mecanismo de Ambro-Fujino o imitando los argumentos de Kollar, avísame si quieres detalles, tal vez debería ponerlo en mathoverflow ya que no está escrito en ningún sitio).
Sin embargo, debería señalar que es totalmente trivial ver que la desaparición de Kodaira se mantiene para las singularidades racionales. Aquí está la prueba:
Dejemos que $\pi : Y \to X$ sea una resolución. Nota: $R \pi_* O_Y \cong O_X$ y así $R \pi O_Y(-\pi^* L) \cong O_X(-L)$ para cualquier haz de líneas $L$ . Fijar $L$ para ser amplio. Por un argumento de secuencia espectral/composición de funtores derivados:
$$H^i(X, O_X(-L)) = H^i(Y, O_Y(-\pi^* L)).$$
Pero $\pi^* L$ es nef y grande y la desaparición del lado derecho es sólo la desaparición de Kawamata-Viehweg y la dualidad de Serre.
