¿Cuál es el menos ordinal que no se puede incrustar en$\mathbb{R}^\mathbb{R}$?

Question

Sea$\mathbb{R}^\mathbb{R}$ el conjunto de funciones$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ordenadas patialmente por dominación eventual. Obviamente, cada ordinal por debajo de$\omega_1$ se puede incrustar en$\mathbb{R}^\mathbb{R}$ usando solo funciones constantes.

¿Cuál es el menos ordinal que no se puede incrustar en$\mathbb{R}^\mathbb{R}$?

Answer 1

Se puede definir una secuencia$\{f_\alpha:\alpha<\omega_1\}$ que eventualmente aumentará mediante la recursividad transfinita en$\alpha$. Al insertar secuencias en los intervalos$(f_\alpha(x),f_{\alpha+1}(x))$, podemos ver que$\omega_1$ - sumas (y por supuesto,$\omega$ - sumas) no salen de los ordinales representables. Esto da que todos los ordinales$<\omega_2$ son representables y esto es claramente nítido si CH se cumple, según la respuesta anterior de Will. Si CH falla, se pueden representar ordinales más grandes, si, por ejemplo, se cumple el axioma de Martin.