Fórmula para el volumen de $n$ -bola para negativo $n$

Question

¿La expresión $$\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}R^n,$$ que da el volumen de un $n$ -de radio $R$ cuando $n$ es un número entero no negativo, tienen algún significado conocido cuando $n$ ¿es un número entero negativo impar?

Answer 1

I've (I'm op btw) logró obtener algo muy cerca (f''(0) - 1/4) que es probablemente lo suficientemente bueno para la mayoría de lo que me importa si nadie puede obtener una mejor función (y tiene el beneficio de ser

$$f(x) = \frac {2 \arctan {\frac {\pi x} 2}} \pi + \sqrt {1 + \frac {x^2} 4} + x / 2 + 1$$

Si estás utilizando un ordenador portátil o una tablet, intenta moverte a otra ubicación e inténtalo de nuevo.

Answer 2

Quiero dar otra respuesta a esta pregunta, aunque no es realmente una respuesta, y no sé si es pertinente o no, pero puede ser útil.

Tomemos

$$V(n,R)=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}R^n$$

También, usando la fórmula de reflexión para la función Zeta podemos ver:

$$n\zeta(1-n)\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}=(1-n)\zeta(n)\frac{\pi^{\frac{1-n}{2}}}{\Gamma(\frac{1-n}{2}+1)}$$

Curiosamente, en el álgebra de integrales divergentes aquí descrita existe una norma $\operatorname{reg}\omega_+^n=-n\zeta(1-n)$ (donde $\omega_+=\int_{-1/2}^\infty dx$ es una integral divergente infinita y $\operatorname{reg}$ denota regularización), la fórmula general pasa a ser

$$\operatorname{reg} V(n, \omega_+)=\operatorname{reg} V(1-n, \omega_+)$$

Es una relación muy bonita, pero su significado profundo no está claro. Sobre todo porque no es evidente qué significado deben tener las bolas de radio infinito, y especialmente las bolas de radio infinito en dimensión negativa :-). Aún así, formalmente esta relación es muy bonita.

Véase también esta pregunta: ¿Cuál es la relación entre la función Xi de Riemann y la n-esfera?