La prueba de que $e^x$ es una trascendental función de $x$?

Question

Vamos a una función de $f(x)$ ser algebraicas si satisface una ecuación de la forma $$c_n(x)(f(x))^n + c_{n-1}(x)(f(x))^{n-1} + \cdots + c_0(x)=0,$$ for $c_k(x)$ rational functions of $x$, and let $f$ be called transcendental if it is not algebraic. Is it possible to use this definition directly to show that $e^x$ es trascendental?

Una manera en la que he estado considerando para cualquier número complejo es este:

Deje $x_0\in\mathbb{C}$ $x_n=x_0+2\pi i n$ donde $n\in\mathbb{Z}$. Por lo tanto $x_n\neq x_m$ todos los $n\neq m$, pero tenemos $e^{x_n}=e^{x_m}$ todos los $n,m\in\mathbb{Z}$ (desde $e^{2\pi i n} = 1$ todos los $n\in\mathbb{Z}$). Pero dado que el Teorema de la Función Implícita sugiere que existe una exacta fórmula algebraica para $x$ mediante la definición de una expresión algebraica de la función, a continuación, $e^x$ no puede ser algebraicas, ya que hay un número infinito de representaciones $x_n$$x$.

Answer 1

Uno podría utilizar el crecimiento en el infinito de la función $f:x\mapsto\mathrm e^x$.

Supongamos que ese $f$ es algebraica y elegir un número real $x\geqslant0$. A continuación, $|f(x)|\geqslant1$ y $$ |c_n(x)|\,|f(x)|^n\leqslant b(x)|f(x)|^{n-1},\qquad b(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}|c_k(x)|. $$ Por lo tanto, para cada número real $x\geqslant0$ tal que $c_n(x)\ne0$, $|f(x)|\leqslant b(x)/|c_n(x)|$. Pero, de hecho, $c_n(x)\ne0$ para cada número real $x$ lo suficientemente grande y lo $b(x)/|c_n(x)|$ puede crecer en la mayoría de los exponencialmente cuando el número real $x$ $+\infty$ mientras $|f(x)|=\mathrm e^x$ crece... bien, de manera exponencial. Esta es una contradicción.

Answer 2

Aquí es puramente algebraica prueba utilizando sólo el hecho de que si $y=e^x$,$y'=y$, pero no de la analítica de datos acerca de la función exponencial. En otras palabras, se debe mantener en cualquier diferencial de campo.

Deje $K$ ser un diferencial de campo, de tal manera que $K=k(x)$ donde $k$ es el campo de las constantes de la $K$ (es decir, aquellos números cuya derivada es 0) y con $x'=1$ (piensa en el campo de funciones racionales en $x$). Y $K(y)$ es un diferencial de extensión con $y'=y.$

Primero observar que $y\notin K$. Para los elementos de $K$ son de la forma $c p/q$ $p,q$ monic polinomios en $x$ $k$ $c$ una constante. Si $(p/q)'=p/q,$$p'q-pq'=pq.$, Pero el polinomio de la derecha tiene un grado $\deg p+\deg q$, mientras que el polinomio de la izquierda tiene un grado $\deg p+\deg q-1,$ y ambos lados están monic, por lo que no son iguales.

Ahora supongamos $y$ fueron algebraicas sobre $K$, luego dejar que el polinomio mínimo de a $y$ $y^n+a_{n-1}y^{n-1}+\dotsb+a_0=0.$ Tomando la derivada, tenemos $ny^n+(n-1)a_{n-1}y^{n-1}+a_{n-1}'y^{n-1}+\dotsb+a_0'=0.$ Restando $n$ veces la primera ecuación da $(a_{n-1}-a_{n-1}')y^{n-1}+\dotsb+na_0-a_0'=0.$ ya Hemos observado que el $y'=y$ no tiene no-cero soluciones en $K$, por lo tanto $a_{n-1}-a_{n-1}'\neq 0,$, por lo que tenemos una monic polinomio de grado $n-1$ aniquilando $y$, lo que contradice la minimality de nuestro polinomio.