Definir polinomios recursivos $f_n(a,b)$ por $$ f_0(a,b)=1,\ \ f_n(0,b)=0\ \mathrm{for}\ n>0 $$ $$ \frac{\partial}{\partial a}f_n(a,b) = f_{n-1}(b-a,1-a). $$ Por ejemplo, $$ f_1(a,b) = a,\ \ f_2(a,b) = \frac 12(2ab-a^2) $$ $$ f_3(a,b) = \frac 16(a^3-3a^2-3ab^2+6ab). $$ ¿Existe una solución ``buena'' para esta recurrencia, por ejemplo, una fórmula para la función generadora $\sum_{n\geq 0}f_n(a,b)x^n/n!$ ? Lo que me realmente me interesa es $f_n(1,1)$ . Para la motivación, véase la solución del ejercicio~4.56(d) (pág. 645) de Enumerativa Combinatoria , vol.1, 2ª ed.
Respuesta
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Mathieu Leiv
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Parece que hay una EDP para $g(a,b,x)=\sum_{n\ge0}f_n(a,b)x^n$ , que puede considerarse como un problema de valor límite en el triángulo $0\lt a\lt b\lt1$ . $$g_{aab}+g_{abb}+x^3g=0$$ ( $x$ es un parámetro y los subíndices son derivados) con valores de frontera $g(0,b,x)=1$ , $g_a(a,a,x) = x$ y $g_{ab}(a,1,x) = x^2$ . Esto proviene de la iteración de la $f_n$ recurrencia, después de los comentarios de Pietro de que $(a,b)\to(b-a,1-a)$ tiene el periodo 3 sugirió mirar las terceras derivadas. ¿Determina eso $g$ ¿en forma única, agradable? Todavía no lo sé. [Editar: He escrito erróneamente $g$ al principio usando $\frac{x^n}{n!}$ .]
