La definición más habitual del mapa completamente positivo (c.p.) entre dos álgebras C* (digamos, unital) es la siguiente: $\sigma: A \to B$ debe satisfacer $\sigma(1)=1$ y para cada $n \in \mathbb{N}$ el mapa $\sigma_n: M_n(A) \to M_n(B)$ definida ``en el sentido de las coordenadas'' debe ser positiva.
Sin embargo, también me encontré con la siguiente definición: $\sigma(1)=1$ y para cada $n \in \mathbb{N}, a_1,...,a_n \in A, b_1,...,b_n \in B$ tenemos $\sum_{i,j}b_i^*\sigma(a_i^*a_j)b_j \geq 0$ . He podido demostrar que la primera definición implica la segunda: ¿cómo demostrar que la inversa también es cierta (si es que lo es)?
Respuesta
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Lo contrario se deduce de dos observaciones:
1) Si $a=[a_{ij}]$ es un elemento positivo en $M_n(A)$ entonces $a=x^*x$ para algunos $x=M_n(A)$ y si lo escribimos en entradas matriciales tenemos $$ a_{ij} = \sum_k x_{ki}^*x_{kj}. $$
2) La matriz $[a_{ij}]$ es positivo en $M_n(A)$ si y sólo si es positivo en cada representación GNS $\pi$ de $A$ y esto está implícito en la condición \begin{equation} \sum_{ij}c_i^*a_{ij}c_j\geq 0 \end{equation} para todos $c_1,\dots c_n\in A$ . Para ver esto fijar un estado $\rho$ en $A$ , dejemos que $H$ denotan el espacio GNS asociado a $\rho$ y $\pi:A\to B(H)$ la representación del GNS. $H$ se extiende por las clases de equivalencia $[c]$ con $c\in A$ . Tenga en cuenta que, dado que $A$ es unital, por la construcción GNS tenemos $[c]=\pi(c)[1]$ . Para comprobar que $[a_{ij}]$ es positivo en la representación $\pi$ , fija los vectores $[c_1], \dots [c_n]$ en $H$ y complicidad: \begin{align} \sum_{ij}\langle \pi([a_{ij}])[c_j],[c_i]\rangle_H &= \sum_{ij}\langle \pi(c_i^*)\pi(a_{ij})\pi(c_j)[1],[1]\rangle_H \\ &=\sum_{ij}\langle \pi(c_i^*a_{ij}c_j)[1].[1]\rangle_H\\ &= \rho \left(\sum_{i,j} c_i^*a_{ij}c_j\right)\\ &\geq 0 \end{align} por suposición.
Ahora, la prueba: supongamos que $\sum_{ij} b_i^*\sigma(a_i^*a_j)b_j\geq 0$ para todos $a's$ y $b's$ . Fijar un elemento positivo $[a_{ij}]\in M_n(A)$ El factor es el mismo que en la primera observación. Para comprobar la positividad de $\sigma([a_{ij}])$ comprobamos la condición de la segunda observación; así que fija $b_1, \dots b_n$ tenemos \begin{equation} \sum_{ij}b_i^*\sigma(a_{ij})b_j = \sum_k\sum_{ij}b_i^*\sigma(x_{ki}^*x_{kj})b_j\geq 0, \end{equation} donde la última desigualdad se deduce por hipótesis.
