¿No conmutador en grupo simple?

Question

Hola,

Para un grupo$G$, decimos que$x\in G$ es un conmutador si existe$a,b \in G$ tal que$x=a^{1}b^{-1}ab$, y decimos que$x$ no es un conmutador si no hay$a,b \in G$ tal que$x=a^{1}b^{-1}ab$.

¿Existe un grupo simple no abeliano$G$ (finito o no) tal que$G$ tenga al menos un no conmutador?

Intenté con$-I_n$ en$\mathrm{PSL}(n,q)$ pero no tuve suerte.

Gracias.

Answer 1

Para grupos infinitos, puede encontrar ejemplos aquí:

http://arxiv.org/abs/arXiv:0909.2294

De hecho, en la referencia anterior, puede encontrar ejemplos de infinitos grupos simples con un ancho de conmutador infinito. En otras palabras, ejemplos de grupos simples$G$ tales que por cada$n\in\mathbb{N}$ existe un elemento$g\in G$ que no es el producto de menos de$n$ conmutadores.

Answer 2

Para grupos finitos, no hay ejemplos. Esta fue la conjetura de Ore. ¿Cómo se convirtió la "Conjetura de Ore" en una conjetura? .