Homología singular cúbica vs. simplicial

Question

La homología singular suele definirse a través de símiles singulares, pero Serre en su tesis utiliza cubos singulares, que según él se adaptan mejor al estudio de los espacios de fibras. Este joven (25 años por aquel entonces) parecía saber de lo que hablaba y desde entonces ha tenido una carrera no demasiado infructuosa.

Así que mis preguntas (bastante relacionadas) son

1) ¿Por qué tan pocos libros utilizan este enfoque (sólo conozco el de Massey)?

2) ¿Cuáles son los pros y los contras de ambos enfoques?

3) ¿Importa? Al fin y al cabo los grupos de homología obtenidos son los mismos.

Answer 1

Otros han mencionado las ventajas de los conjuntos cúbicos, por lo que no quiero hablar mucho de ellas; sólo mencionaré algunos datos sobre la otra dirección. La principal desventaja que viene únicamente desde el punto de vista de la homología es que tienes este irritante procedimiento de normalización: tienes que tomar las cadenas cúbicas en X y tomar el cociente por cubos degenerados. (Se puede hacer lo mismo con las cadenas simpliciales y se obtiene la misma respuesta que la original). La teoría cúbica consigue sutilezas que otros han declarado.

Las principales ventajas de los símiles se aprecian sobre todo cuando se avanza un poco más en la teoría de la homotopía. La teoría de la homotopía de los conjuntos simpliciales es, en algunos sentidos, más sencilla que su análoga cúbica. Por ejemplo, el producto cartesiano de dos conjuntos simpliciales tiene como realización geométrica el producto de las realizaciones geométricas de sus factores. Por otro lado, el "intervalo cúbico" estándar I, que se realiza a [0,1], tiene un autoproducto I^2, cuya realización geométrica tiene grupo fundamental ℤ. En cierto modo, los símbolos juegan mejor con las degeneraciones que los cubos.

Los símiles también están más ligados a las categorías a través del functor de nervio simplicial. Por ejemplo, están las construcciones simpliciales de espacios clasificatorios que provienen de categorías, y éstas te dan bonitas construcciones de cohomología de grupos. (Quizá no conozca los análogos cúbicos).

También existe la omnipresente "construcción de barra", que es excesivamente útil en topología algebraica, y que procede de forma muy natural de una construcción simplicial. La utilizamos para resolver módulos, mostrar equivalencias entre álgebras sobre diferentes operadas, y más aplicaciones que son casi demasiado numerosas para nombrarlas. Por ejemplo, May lo utilizó bastante en sus pruebas de que los espacios X que son álgebras sobre un E _∞ -operad tienen infinitos deloopings BX, B 2 X, ...

Sin embargo, se ha trabajado mucho en los conjuntos cúbicos, pero no soy la mejor autoridad en ello. Prueba con aquí como punto de partida.

Answer 2

Creo que los símiles son más convenientes para construir conos, mientras que los cubos son más convenientes para construir productos. De hecho, podemos pensar en los símiles como la colección más pequeña de poliedros que contiene un punto (0-símbolo) y está cerrada bajo la toma de conos, mientras que los cubos son la colección más pequeña que contiene un intervalo (1-cubo) y está cerrada bajo productos. (Alternativamente, contienen un punto y son cerrados bajo producto con un intervalo).

Personalmente, creo que es más conveniente hacer homología singular con la colección más grande de poliedros que es cerrada tanto bajo conos como productos. (Los poliedros n-dimensionales de esta colección están indexados por árboles enraizados con n aristas. Los símiles corresponden a árboles de máxima profundidad donde la valencia de un vértice es como máximo 2, mientras que los cubos corresponden a árboles de mínima profundidad (en forma de estrella) donde el vértice raíz tiene valencia n y todos los demás vértices tienen valencia 1).

Answer 3

Nuestro nuevo libro

Nonabelian topología algebraica: filtrada espacios, cruzó complejos, cúbica homotopy groupoids, EMS Tratados en Matemáticas vol 15

se utiliza principalmente cúbicos, en lugar de simplicial, conjuntos. Las razones que se explican en la Introducción: en estricto cúbico de categorías superiores podemos expresar fácilmente

algebraicas inversa de la subdivisión,

una simple intuición que he encontrado difícil de expresar en simplicial términos. Así, los cubos son útiles para los locales a problemas globales. Esta intuición es crucial para nuestro Mayor Homotopy Seifert-van Kampen Teorema, que permite a los nuevos cálculos de algunos homotopy tipos, y sugiere una nueva base para la topología algebraica en la frontera entre homotopy y homología.

También los cubos de tener un buen producto tensor y esto es crucial en el libro para la obtención de algunos homotopy resultados de clasificación.

He encontrado que con cubos he sido capaz de conjetura y en el fin de demostrar teoremas que han permitido a las nuevas nonabelian cálculos en homotopy teoría, por ejemplo, de la segunda relativa homotopy grupos. Así que he sido feliz para el uso de los cubos hasta que a alguien se le ocurre algo mejor. ($n$-simplicial métodos, junto con cúbicas, resultó, sin embargo, de ser necesario para las pruebas en la obra de J.-L. Loday.)

Ver también algunos proyector presentaciones disponibles en mi preprint página.

Aquí es un mayor énfasis en el punto anterior sobre estructuras algebraicas: considere el siguiente diagrama:

De izquierda a derecha, imágenes de la subdivisión; de derecha a izquierda las imágenes de la composición. La composición de la idea está bien formulado en términos de doble categorías, y que la idea es fácilmente generalizables a $n$-pliegue de las categorías, y se expresa así en una cúbica contexto. En ese contexto, uno puede conjeturar, y, finalmente, ser, de dimensiones superiores de Seifert-van Kampen Teoremas, que permiten a los nuevos cálculos de la topología algebraica. Estas múltiples composiciones son difíciles de manejar en globular o simplicial términos.

La mayor ventaja de los cubos, como se ha mencionado en anteriores respuestas, es que la fórmula $$I^m \times I^n \cong I^{m+n}$$ hace que los cubos muy útil en la consideración de monoidal y monoidal estructuras cerradas. La mayoría de los principales resultados de la EMS libro requiere cúbico de métodos para su conjetura y la prueba.

Septiembre 5, 2015: El papel por Vezzani arxiv::1405.4548 muestra un uso de cubículos, en lugar de simplicial, los métodos, en motivic teoría; mientras que el papel de I. Patchkoria, HHA arXiv:1011.4870, la Homología Homotopy Appl. Volumen 14, Número 1 (2012), 133-158, da "una Comparación de las Pequeñas y Simplicial Derivados de Functors".

En todos estos casos, el uso de las conexiones en los cubículos de los métodos es crucial. No hay más discusión sobre este mathoverflow. Para nosotros conexiones surgió con el fin de definir conmutativa cubos en mayor cúbica categorías: comparar este papel.

Ver también este 2014 presentación La intuición cúbico de métodos de topología algebraica

Answer 4

Si recuerdo correctamente, la prueba de homotopy la invariancia de homología singular (al menos el de Hatcher) consiste en cortar un (simple)x(intervalo) en simplices, que tal vez puede ser confuso. En cúbica singular homología sólo tendría que cortar un (cubo)x(intervalo) en cubos, lo que es obvio. Este tipo de cosas tal vez también en otros resultados básicos que implican homotopies, tales como (gradual)conmutatividad de la copa del producto.

Realmente no importa, ya que como dices, puedes obtener los mismos resultados al final del día. Pero tal vez, en algún sentido simplices son más "básica" de los cubos, ya que se puede cortar fácilmente cubos (o cualquier otro poliedro) en simplices, pero usted no puede cortar simplices en (un número finito), cubos o incluso "rectángulo-ubes".

Como para Ilya la respuesta, yo realmente no creo que los cubos necesariamente complicar más altos de la categoría de la teoría de cosas que mucho. Se podría incluso hacer ciertas cosas más fáciles. Simplices son sólo un buen formalismo con el que describir las cosas como homotopies, y más homotopies, y así sucesivamente. Por ejemplo, si usted tiene los mapas de f, g, h, tales que (f componer g) y h son homotópica, se puede pensar en el homotopy como un triángulo relleno en el diagrama correspondiente. Sin embargo, supongamos que usted acaba de tener mapas de f y g que son homotópica. A continuación, el homotopy es un "triángulo" con un "degenerado" en el borde de llenado en el diagrama correspondiente. Así simplices no son perfectos, todavía tenemos que permitir "degenerado" de las situaciones. En ese caso, podríamos haber empezado con cubos, permitiendo a los degenerados de los bordes, para empezar...

Answer 5

No sé con certeza, pero parece que significa que es más fácil construir un cúbicos de la cadena de un producto en un X x Y dado cúbico cadenas en X y Y en comparación con el simplex de la cadena dado dos simplex cadenas.

Ya que es un ejercicio sencillo para ir de simplices a los cubos y viceversa, yo no veo ninguna ventaja a los cubos. De hecho, yo esperaría que cualquier buen libro para explicar que cualquiera de los enfoques podrían ser utilizados.

Se complicaría innecesariamente la notación de la moderna narraciones de mayor categoría de la teoría, sin embargo. Me enteré de Lurie, Mayor Topos Teoría, 0608040 y no usted realmente quiere mapa simplices porque desea dibujar una imagen de simplex [a_0, a_1, ..., a_n] están relacionados con la composición de la n categórica flechas, la flecha de a_0 a a_1 y así sucesivamente.