Por lo que sé hay muchas "sugerencias" de lo que debería ser un "campo con un elemento" $\mathbf{F}_{1}$ .
Mi pregunta es la siguiente:
Cómo debemos pensar o cuál debe ser el "grupo de Galois absoluto" del "hipotético" $\mathbf{F}_{1}$ ?
El grupo de Galois de la máxima extensión abeliana de $\mathbb Q$ (o cualquier campo numérico) viene dado (teoría de campos de clases) como el cociente del grupo de clases del ídolo por la componente conexa de la identidad que es isomorfa a $\mathbb R$ . Si hay un ${\mathbb F}_1$ entonces sus extensiones proporcionan "extensiones de campo constante" de $\mathbb Q$ . Así, para ser compatible con la teoría de campos de clases y mantener la analogía con los campos de funciones, $\mathbb R$ debe ser al menos la abelianización del grupo de Galois absoluto de ${\mathbb F}_1$ . Pero los campos finitos son abelianos, así que esto sugiere la respuesta. Una perspectiva ligeramente diferente es que Weil construyó canónica y funcionalmente una extensión del grupo de Galois absoluto de cualquier campo numérico por ${\mathbb R}$ (el grupo de Weil) y esa debería ser la extensión que se obtendría al permitir de nuevo extensiones de campos constantes.
Creo que el "que es isomorfo a $\mathbb{R}$ "está mal: debería ser $\prod_p \mathbb{Z}_p^\times$ (en todo caso, debe ser profinita y hay torsión).
@Gro-Tsen yo me refería a la componente conexa de la identidad y tú parece que hablas del cociente.
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Vea las respuestas a esta pregunta: mathoverflow.net/q/6508/2024 .
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La teoría del campo de clases sugiere ${\mathbb R}$ (con adición).
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@FelipeVoloch Podría desarrollar su sugerencia por favor (comentar o responder)