¿Son$L^\infty(\Bbb R)$ y$L^2(\Bbb R)$ homeomórficos?

Question

Es fácil ver que, para$1\le p,q< \infty$ los espacios$L^p(\Bbb R)$ y$L^q(\Bbb R)$ de$p$ - th y$q$ - th funciones integrables de potencia en la línea real son homeomorfas como espacios topológicos. De hecho, el mapa$f(x)\mapsto sgn(f(x))|f(x)|^{q/p}$ proporciona un homeomorfismo explícito$L^p(\Bbb R) \to L^q(\Bbb R)$.

Sin embargo, este argumento no se puede aplicar al caso en el que$p$ o$q$ es igual a infinito. Por lo tanto, pregunto si hay un homeomorfismo de$L^\infty(\Bbb R)$ a cualquier (y por lo tanto cada)$L^p(\Bbb R)$ con$p<\infty$.

Answer 1

Paul tiene razón. $L^2(\mathbb{R})$ es separable. (Las funciones simples racionales deberían ser un ejemplo de algo ctbl. Y denso).

Sin embargo,$L^{\infty}(\mathbb{R})$ no es separable. Según el lema de Jones, si$L^{\infty}(\mathbb{R})$ fueran separables, cualquier conjunto discreto cerrado (es decir, no agrupado) debe tener un tamaño menor que el continuo. Pero las funciones características$\chi_{[0,x]}$,$x\in[0,\infty)$, son por pares de distancia 1 entre sí.