Sea$\mathcal{O}$ el anillo de números enteros en un campo numérico algebraico. ¿$\text{SL}_2(\mathcal{O})$ Es generado por matrices elementales? Si no es así, ¿hay algún otro grupo generador natural para ello?
El argumento habitual muestra que esto es cierto para$\mathcal{O} = \mathbb{Z}$ (o, más generalmente, un dominio euclidiano). Sin embargo, no he podido generalizar esto a otros anillos de números enteros.
No. Si miras en Charles Frohman y Benjamin Fine, "Algunas estructuras de amalgama para grupos Bianchi", 1988, Actas de la American Mathematical Society, vol. 102, No. 2, págs. 221-229, construimos una división de$PSl_2(\mathcal{O})$ donde estamos en$\mathbb{Q}[\sqrt{-d}]$ para un entero libre cuadrado positivo que es lo suficientemente grande, y uno de los factores es el matrices elementales. Era bien conocido el hecho de que las matrices elementales no generan. Creo que lo aprendí de Morris Newman. ¿Quizás Richard Swan lo demostró?
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