¿Cuándo es $X \rightarrow \text{Spec}(C(X))$ ¿un homeomorfismo?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico compacto de Hausdorff. Consideremos el anillo $C(X)$ de funciones continuas $X \rightarrow \mathbb C$ (no consideramos la estructura del álgebra C*, sólo consideramos $C(X)$ como anillo) y su espectro (puramente algebraico) $\text{Spec}(C(X))$ . Existe un mapa continuo inyectivo $X \rightarrow \text{Spec}(C(X))$ enviando $x$ al ideal máximo $\mathfrak m_x = \{f \in C(X) : f(x) = 0\}$ . ¿En qué condiciones en $X$ ¿es este mapa sobreyectivo? ¿Bajo qué condiciones es un homeomorfismo a su imagen?

Answer 1

El mapa $i:X\to\operatorname{Spec}(C(X))$ es un homeomorfismo sobre su imagen si $X$ es completamente regular; ésta es esencialmente la definición de regularidad completa. Sin embargo, es muy raro que sea sobreyectiva.

En efecto, supongamos que $X$ es completamente regular y $i:X\to\operatorname{Spec}(C(X))$ es suryente y, por tanto, un homeomorfismo. Entonces para cualquier $f\in C(X)$ el subconjunto $D(f)\subset\operatorname{Spec}(C(X))$ de ideales primos que no contienen $f$ es compacto, siendo naturalmente homeomorfo a $\operatorname{Spec}(C(X)_f)$ . Pero esto significa que todo subconjunto cozero de $X$ es compacta y, por tanto, clopen. Se deduce fácilmente que $X$ debe ser finito. De forma más general, un argumento similar muestra que si el espectro de un anillo es Hausdorff, debe ser totalmente desconectado.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que para $X$ Hausdorff compacto, la imagen de $i$ es exactamente los ideales máximos de $C(X)$ el cierre de cualquier ideal propio es propio ya que toda función suficientemente cercana a $1$ es invertible, por lo que todo ideal maximal es cerrado. Además, todo ideal primo está contenido en un único ideal maximal: para dos puntos cualesquiera $x,y\in X$ podemos encontrar funciones $f,g\in C(X)$ tal que $fg=0$ pero $f(x)\neq0$ y $g(y)\neq 0$ por lo que ningún primo puede estar contenido en ambos $\mathfrak{m}_x$ y $\mathfrak{m}_y$ . Así que en cierto sentido, $X$ realmente no está tan lejos de ser lo mismo que $\operatorname{Spec}(C(X))$ .

Editar: He aquí un ejemplo de cómo podrían ser estos ideales primos no máximos. Sea $X$ sea la compactificación de 1 punto de un espacio discreto contable e identifique $C(X)$ con el anillo de secuencias convergentes. Fijar un ultrafiltro no principal $U$ sur $\mathbb{N}$ y que $P$ sea el conjunto de secuencias $(x_n)$ que convergen en $0$ y para el cual $(n^kx_n)$ converge a $0$ con respecto a $U$ para todos $k$ . Entonces reclamo $P$ es un ideal primo (que está estrictamente contenido en el ideal maximal correspondiente al punto en el infinito). Es fácil ver que es un ideal; supongamos $(x_n)\not\in P$ y $(y_n)\not\in P$ . Entonces para $k$ suficientemente grande, $(n^kx_n)$ y $(n^ky_n)$ ambos van al infinito con respecto a $U$ . De ello se deduce que para grandes $k$ , $(n^{2k}x_ny_n)$ también va al infinito con respecto a $U$ y por lo tanto $(x_ny_n)\not\in P$ .