Determinante de una matriz de bloques %-%-%

Question

Tenga en cuenta la matriz de bloques %-%-%:

$$C á izquierda (izquierda (\begin{array}{ccccc} A & B & B & \cdots & B \ B & A & B &\cdots & B \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ B & B & B & \cdots & A \end--array-derecha) - I_k a veces (A - B) + "mathbb{1}_k "otimes B$$

en los que %-%-% y %-%-% son el tamaño %-%-% y %-%-% es la matriz de todos los.

Parecería que la fórmula para el determinante de %-%-% es simplemente:

$k \times k$$

¿Puede alguien explicar por qué esto parece ser cierto u ofrecer una prueba o dirigirme a una prueba?

Answer 1

Restando la última fila de bloques de la primera $k-1$ filas de bloques, obtenemos

$$\begin{bmatrix}A-B & O & O & \dots & O & B-A\ O & A-B & O & \dots & O & B-A\ O & O & A-B & \dots & O & B-A\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\ O & O & O & \dots & A-B & B-A\ B & B & B & \dots & B & A\end{bmatrix}$$

que es el primer paso en la respuesta de Remling. Agregando las primeras columnas %-%-% de bloques a la última columna de bloques, obtenemos una matriz triangular inferior de bloques

$k-1$$

donde %-%-%. El determinante de esta matriz triangular inferior de bloque es

$$\begin{bmatrix}A-B & O & O & \dots & O & O\ O & A-B & O & \dots & O & O\ O & O & A-B & \dots & O & O\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\ O & O & O & \dots & A-B & O\ B & B & B & \dots & B & M_k (A,B)\end{bmatrix}$$

Así

$M_k (A,B) = A+(k-1)B$$

Answer 2

Supongamos que %-%-% es invertible. Escribir

$A-B$$

Usando la identidad determinante de Sylvester,

$$\begin{array}{rl} C &= $$\begin{bmatrix} A & B & \ldots & B\ B & A & \ldots & B\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\B & B & \ldots & A\end{bmatrix}$$ \\ &= $$\begin{bmatrix} A-B & O_n & \ldots & O_n\ O_n & A-B & \ldots & O_n\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ O_n & O_n & \ldots & A-B \end{bmatrix}$$ + $$\begin{bmatrix} B \ B\ \vdots \ B\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} I_n \ I_n\ \vdots \ I_n\end{bmatrix}$$ ^T\\ &= (I_k \otimes (A-B)) + (1_k \otimes B) (1_k \otimes I_n)^T\\ &= (Ik \otimes (A-B)) \left(I{nk} + (I_k \otimes (A-B)^{-1}) (1_k \otimes B) (1_k \otimes I_n)^T\right)\end{array}$$