Dejemos que $X$ sea una variedad proyectiva suave sobre los números complejos. Denotemos por $Aut(X)$ su grupo de automorfismo, por $Aut(X)_0$ el componente conectado de la identidad, y por $G$ el cociente $Aut(X)/Aut(X)_0$ .
El retroceso da una representación $$ \rho \colon G \to GL(H^{1,1}(X,\mathbb{C})) $$
Busco ejemplos de variedades $X$ tal que el núcleo de $\rho$ no es un grupo finito.
El grupo de componentes conectados del subgrupo de $Aut(X)$ Fijación de $H^{11}(X)$ es finito. Esto se deduce del resultado principal de
Variedades polarizadas, campos de módulos y variedades Kummer generalizadas de variedades abelianas polarizadas , T. Matsusaka, American Journal of Mathematics, Vol. 80, No. 1 (Ene., 1958), pp. 45-82
Cito el revisión de mathscinet :
El resultado principal (sección 3) es el siguiente. Sea $U$ sea una variedad no singular proyectable; entonces existe un grupo algebraico conexo máximo $G$ de automorfismos de $U$ . Además, $G$ es de índice finito en el grupo $G′$ de aquellos automorfismos de $U$ que, para una determinada incrustación proyectiva de $U$ , llevan una sección de hiperplano $H$ en un ciclo numéricamente equivalente a $H$ .
Dado que el grupo de clases de equivalencia numérica de los divisores se incrusta en $H^{11}$ el grupo de automorfismos que preservan $H^{11}$ es un subgrupo del grupo $G'$ arriba. Es claramente un subgrupo algebraico cerrado, por lo que también tiene un número finito de componentes.
Debo admitir que, en una lectura rápida, también suscribo las últimas frases de la reseña:
Lamentablemente, el estilo del autor, sumado a las dificultades intrínsecas del tema, hace que sea muy difícil comprobar la exactitud de muchos detalles técnicos que parecen esenciales para la validez de las pruebas; esto es aún más lamentable, ya que sus resultados son tan valiosos e importantes. Es de esperar que él, o algún otro, ofrezca algún día una exposición completamente lúcida y convincente de estos temas.
Edición: Este es un comentario largo.
Dejemos que $X$ sea una variedad proyectiva suave.
Si $\omega_X$ es amplia, entonces $\mathrm{Aut}(X)$ es finito, por lo que $G$ es finito. Por lo que se ve que debemos evitar $\omega_X$ siendo amplio.
Si $\omega_X^\vee$ es amplia, entonces $\mathrm{Aut}(X)$ no es necesariamente finito (por ejemplo $X=\mathbb P^n$ ), pero es (el $\mathbb C$ -de) un esquema de grupo afín de tipo finito. En particular, su grupo de componentes conectados es finito. En particular, $G$ es finito aquí también.
Así que, como usted está buscando una variedad con $G$ infinito, y claramente debemos evitar $\omega_X$ Siendo amplio o antimuestra, mi opinión es que mirar la variedad de CY podría funcionar. [Edición: Ahora me doy cuenta de que esto nunca funciona. Si $X$ es una colmena CY, entonces el núcleo es finito].
Ahora, como usted sabe, si $X$ es una curva de género uno (resp. una superficie K3), su representación $\rho$ tendrá un núcleo finito (resp. núcleo trivial). Por lo tanto, tendremos que empezar a considerar las tríadas CY.
Ahora bien, hay ejemplos de tréboles CY con grupo de automorfismo infinito. El primer ejemplo que se me ocurre es el de la variedad "X" en http://arxiv.org/pdf/1306.1590v3.pdf (también mencionado anteriormente en MO: ¿Puede un triplete rígido de CY tener infinitos automorfismos ).
EDIT (gracias a David Speyer por los comentarios):
Mi primera suposición sería que la representación asociada tiene un núcleo infinito en este caso. Por desgracia, no es así. De hecho, también habrá que buscar más allá de las variedades de Calabi-Yau, ya que la proposición 2.4 de http://arxiv.org/pdf/1206.1649v3.pdf muestra que el núcleo de $\rho$ es siempre finito también en este caso.
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Estoy seguro de que usted lo sabe, pero tal vez valga la pena mencionarlo para los transeúntes: tales ejemplos deben tener $b_1 \neq 0$ .
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@potencialmente denso: ¿por qué?
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Tal vez me estoy perdiendo algo trivial, pero ¿no es $\mathbb{P}^2$ ¿un ejemplo así? En este caso los automorfismos son las proyectividades, y éstas envían la clase de una línea (es decir, el generador de $H^{1, \,1} (\mathbb{P}^2) \cong \mathbb{Z}$ ) a sí mismo.
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@FrancescoPolizzi: en su ejemplo $G$ es trivial.
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¡Ah, sí! Tomamos el cociente por la componente conectada de la identidad. Gracias :-)
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@FrancescoPolizzi: Si $b_1=0$ entonces el primer mapa de clase Chern es inyectivo. Así que $\operatorname{ker} \rho$ es un subgrupo del núcleo del mapa $G \rightarrow GL(Pic(X))$ . Pero el grupo de automorfismos que fija la clase de un haz de líneas amplio es un subgrupo cerrado de $PGL(N)$ para algunos $N$ por lo que tiene un número finito de componentes conectados.
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Espera, creo que me he liado un poco con lo de la torsión en mi anterior comentario. Realmente quiero el primer mapa de la clase Chern $\operatorname{Pic} X \rightarrow H^2(X,\mathbf C)$ para ser inyectable, por lo que mi condición debe ser modificada apropiadamente.