Teorema de Belyi para campos de funciones

Question

El teorema de Belyi afirma que toda curva algebraica proyectiva lisa $C$ definido sobre $\bar{\mathbb{Q}}$ admite un mapa $C\to\mathbb{P}^1$ ramificado sólo sobre $0,1,\infty$ . ¿Existe un análogo de este teorema con $\mathbb{Q}$ sustituido por un campo de funciones global (es decir, una extensión finita $\mathbb{F}_q(t)$ )?

Me interesa especialmente la existencia de un mapa dócilmente ramificado.

Answer 1

En un comentario sobre la respuesta aceptada, el OP pregunta sobre la ramificación mansa. Saidi muestra en el teorema 5.6 que una curva proyectiva suave $C$ sobre un campo $k$ de característica $p>2$ se define sobre $\overline{\mathbb{F}_p}$ sólo si $C$ admite un mapa $C\to \mathbb{P}^1$ con sólo una ramificación insulsa sobre $\{0,1,\infty\}$ .

La prueba es bastante fácil. Primero esbozaré el argumento de que una curva definida sobre $\overline{F_p}$ admite un mapa como se afirma. Un resultado de Fulton muestra que cualquier curva admite un mapa $g: C\to \mathbb{P}^1$ con índices de ramificación a lo sumo dos, por lo tanto un mapa ramificado dócilmente si la característica es diferente de $2$ . Sea $q$ sea tal que los valores de ramificación estén definidos sobre $\mathbb{F}_q$ . A continuación, componer $g$ con el mapa $$z\mapsto z^{q-1}$$ da un mapa $C\to \mathbb{P}^1$ con la propiedad deseada.

Para ver la otra dirección, se puede utilizar la existencia de Riemann o simplemente observar que los mapas con la propiedad deseada no se deforman y el espacio de moduli de tales mapas es localmente de tipo finito, por lo que cualquier $k$ -punto procede de un $\overline{\mathbb{F}_p}$ -punto.

Answer 2

En la característica positiva se obtienen resultados mucho más contundentes. Véase

Kedlaya, Kiran S.

More étale covers of affine spaces in positive characteristic. J. Algebraic Geom. 14 (2005), no. 1, 187-192.