Homotopy equivalencia iff ambos espacios son la deformación se retrae

Question

Estoy tratando de demostrar que

$f: X \rightarrow Y$ es un homotopy equivalencia $\iff$ $X$, $Y$ ambos son homeomórficos a una deformación retractarse de un espacio de $Z$

El $\Leftarrow$ no era un problema. Si ambos son de la deformación se retrae de ello se sigue que $Z \simeq X$ $Z \simeq Y$ y por transitividad $X \simeq Y$.

La primera mitad de $\Rightarrow$ no fue un problema, porque el uso de la asignación de cilindro $Z_f$ tienen en común el super-espacio, $X \times I$ puede ser deformación se retractó de abajo a $Y$ por el homotopy $(x,s,t)\mapsto (x,st)$, es decir, a lo largo de una línea vertical.

Ahora estoy atascado con la deformación de retracción de $Z_f$ a $X$. Por ejemplo, puedo construir un homotopy de $Z_f$ $X \times I$y, a continuación, a $X$ o directamente de $Z_f$$X$? Tampoco estoy seguro de donde el uso de $f \circ g \simeq id_Y$ $g \circ f \simeq id_X$ $id_{Z_f} \simeq i \circ r_Y$ donde $r_Y$ es la retracción de $Z_f$ a $Y$.

Estoy tentado a hacer algo como esto, pero parece que no llevan a ninguna parte: $i \circ r_Y \simeq id_Y \simeq f \circ g$.

Alguien me puede ayudar terminar esta prueba? Me gustaría mucho agradezco cualquier ayuda!

Answer 1

El punto clave es que la inclusión de $X$ en la asignación de cilindro es un cofibration. Es un hecho general de que el si $A \hookrightarrow B$ es un cofibration y un homotopy equivalencia, a continuación, $A$ es una deformación retractarse de $B$. Una manera de pensar de esto es el uso de la estructura del modelo en los espacios topológicos (debido a Strom) donde (cerrado) Hurewicz cofibrations son cofibrations, Hurewicz fibrations son fibrations, y la debilidad de las equivalencias son homotopy equivalencias.

Así que vamos a probar el siguiente más generales de la realidad. Deje $A \hookrightarrow B$ ser un acíclicos cofibration en un (cerrado) modelo de la categoría, donde $B$ es fibrant. A continuación, $B$ "deformación se retrae" a $A$. Supongamos que nuestro modelo de categorías functorial factorizations, así que siempre hay una functorial objeto cilindro $A \times I$$A$.

Para ver esto, primero vamos a mostrar que $B $ retrae a $A$. Mediante la sustitución de la categoría de modelos con el modelo de la categoría de objetos en la $A$, podemos asumir que $A$ es el objeto inicial $\emptyset$, e $B$ es cofibrant de tal manera que $\emptyset \to B$ es un débil equivalencia. Esto se puede hacer teniendo en cuenta el diagrama de elevación con $\emptyset \to B$ $\emptyset \to \ast$ (donde $\ast$ es el objeto final). Tenemos una retracción $B \to \emptyset$.

Ahora queremos una "deformación de retracción." Consideremos las dos mapas de $B \rightrightarrows B$ dado por la identidad y la retracción. Queremos un homotopy entre los dos. Pero podemos considerar el levantamiento del diagrama $B \sqcup B \to B \times I$ ($B \times I$ un objeto cilindro) y $B \to \ast$. Desde $\emptyset \to B$ es un acíclicos cofibration, por lo que es $\emptyset \to B \sqcup B$, y de dos a tres muestra que $\emptyset \to B \times I$ es un débil equivalencia demasiado; lo $B \sqcup B \sqcup \emptyset \times I \to B \times I$ es un trivial cofibration. Por lo tanto una elevación existe en el diagrama, que es el mapa de $B \times I \to B$ que queríamos.

Answer 2

Ok, aquí es una prueba tomada de Lee Introducción a topológico colectores p 207:

reclamo: $X \times [0,1]$ es una deformación retractarse de $Z_f$

prueba:

(DEF) asignación de cilindro $Z_f$ Si $f: X \rightarrow Y$ es un mapa continuo, a continuación, su asignación cilindro $Z_f$ es el espacio $X \times [0,1] \cup Y / \sim$ donde $\sim$ identifica dos puntos de $x \in X$ $y \in Y$ si $f(x) = y$.

(i) Deje $r_Y$ ser la retracción de $Z_f$ a $Y$ en $Z_f$, $r_Y:Z_f \rightarrow Z_f$: $$\begin{array}{ccc} [x,s] & \mapsto & [x, 0] \\ [y] & \mapsto & [y] \\ \end{array}$$

(ii) Vamos a $h_1$ ser un homotopy de $id_X$ a $r_Y$, $h_1: Z_f \times [0,1] \rightarrow Z_f$: $$\begin{array}{ccc} [x,s], t & \mapsto & [x, s(1-t)] \\ [y], t & \mapsto & [y] \\ \end{array}$$

(iii) Deje $F:Y \times [0,1] \rightarrow Y$ ser el homotopy de $ f\circ g $ $id_Y$

(iv) Deje $G:X \times [0,1] \rightarrow X$ ser el homotopy de $ g \circ f$ $id_X$

(v) si $B: Z_f \rightarrow Z_f$ es el mapa $$\begin{array}{ccc} [x,s] & \mapsto & [g(f(x)),0] \\ [y]& \mapsto & [g(y),0] \\ \end{array}$$

a continuación, $h_2:Z_f \times [0,1] \rightarrow Z_f$ es un homotopy de $r_Y$ a $B$: $$\begin{array}{ccc} [x,s], t & \mapsto & [F(f(x), 1-t] \\ [y], t & \mapsto & [F(y, 1 - t)] \\ \end{array}$$

(vi) y si $r_X: Z_f \rightarrow Z_f$ es la retracción de $Z_f$ a $X$: $$\begin{array}{ccc} [x,s], t & \mapsto & [G(x, s), 1] \\ [y], t & \mapsto & [g(y), 1] \\ \end{array}$$

a continuación, $h_3: Z_f \times [0,1] \rightarrow Z_f$ es un homotopy de $B$ a $r_X$: $$\begin{array}{ccc} [x,s], t & \mapsto & [G(x, st), t] \\ [y], t & \mapsto & [G(g(y), t)] \\ \end{array}$$

Con $[f(x)] = [x,0]$ (debido a $[y] = [x,0]$ si $f(x) = y$) uno ve que $$ r_X \simeq B \simeq r_Y \simeq id_{Z_f}$$ where $B = h_2(.,1) = h_3(.,0)$.

Incluso, dada la evidencia de que no parece obvio para mí. Particularmente frustrante es que creo que yo sería capaz de reconstruir, pero no se siente "natural" o intuitivo.