Es bien sabido que si $M$ es un orientable compacto $n$ -entonces $[M, \mathbb{S}^n] \cong \mathbb{Z}$ es decir, los mapas se clasifican por su grado.
Qué se sabe sobre $[M, \mathbb{RP^n}]$ bajo las mismas hipótesis?
Esto parece haber sido resuelto en la década de 1960 por Paul Olum, véase la sección 1 de
Olum, P. , Fórmulas cocíclicas para la clasificación homotópica; mapas en espacios proyectivos y lentes Trans. Am. Math. Soc. 103, 30-44 (1962). ZBL0135.23203 .
Resumiendo brevemente, dos mapas basados $f,g:M\to \mathbb{R}P^n$ son homotópicas de base si coinciden en los generadores de $H^1(\mathbb{R}P^n;\mathbb{Z}/2)$ y $H^n(\mathbb{R}P^n;\mathbb{Z}^w)$ (cohomología retorcida; esto debe interpretarse en términos de la homomorfismo de diferencia $(f-g)^*$ en coeficientes retorcidos, descrito en el Apéndice), y un cierto cociclo de diferencia en $C^n(\mathbb{R} P^n,x_0;\mathbb{Z}/2)$ representa cero en $H^n(\mathbb{R}P^n,x_0;\mathbb{Z}/2)$ . De aquí se deduce el resultado para las clases de homotopía libres.
Por lo tanto, se necesitan operaciones secundarias para describir la respuesta, pero éste parece ser uno de los pocos casos en los que esto puede hacerse explícitamente.
Este asunto de la clasificación homotópica también se trata en mi respuesta a mathoverflow.net/questions/31147/
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Tener $[M, S^n]\cong \mathbb Z$ hay que suponer que M es orientable.
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Puesto que el espacio proyectivo real infinito clasifica la primera cohomología con $\mathbb{Z}/2$ y los coeficientes $n$ espacio proyectivo dimensional es su $n$ esqueleto obtienes que tienes una suryección canónica a la primera cohomología de tu colector. El núcleo se puede describir utilizando la teoría de obstrucción.