Sea S sea un conjunto de doce enteros positivos distintos tal que para distintos a, b, c y d en S ,
a + b c + d . Demuestre que el mayor elemento de S es superior a 56.
Encontré algunos problemas de competencia matemática y estoy tratando de resolverlos, pero encuentro dificultades. Con éste, estoy pensando que de alguna manera hay que demostrar que si el número más grande es 56 entonces podemos encontrar cuatro distintos tales que a + b = c + d . Entonces tenemos una contradicción.
Considere la ${12 \choose 2} = 66$ posibles diferencias $b-a$ donde $b>a$ son los elementos de $S$ .
Tenga en cuenta que si $a, b, c, d \in S$ son distintos por pares y $a-c = d-b$ entonces $a+b = c+d$ .
Además, si $a,b,c \in S$ son todas distintas y $c-a = b-c$ entonces $c = (a+b)/2$ así que $c$ no es el elemento mayor o menor de $S$ .
A continuación, si $c-a = b -c$ y $c-d = e-c$ entonces $a+b = 2c = d+e$ . Así, para cada $c$ que no sea el elemento mayor o menor de $S$ existe como máximo un par de $a, b$ que puede encontrarse de forma que $c-a=b-c$ . Porque si no, entonces tendremos $a + b = d +e$ .
Por lo tanto, hay como máximo $10$ duplicados para cada $c$ que no sea el mayor o elemento más pequeño de $S$ . Por lo tanto, hay al menos $66 - 10 = 56$ claras diferencias.
Por lo tanto, el mayor elemento de $S$ es superior a 56.
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He aquí un enfoque. En lugar de doce números, empieza con cuatro. ¿Cómo de pequeño puede ser el elemento más grande? Cuando lo sepas, prueba con cinco, seis, etc.
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Las sugerencias de Matthew Conroy son básicamente lo que yo hice, que es simplemente crear un conjunto con los valores más pequeños posibles que funcionen. Surge un patrón bastante reconocible. Tengo curiosidad por saber por qué necesita doce elementos en $S$ sin embargo. Estoy consiguiendo que el décimo sea mayor que $56$ .
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@JohnHabert - con $8$ elementos de $S$ el máximo puede ser $30$ no $34$ como la secuencia para menores $S$ sugiere. (Aunque sigo entendiendo que el 11 sea mayor que 56). Y no hay ninguna razón obvia por la que los elementos más pequeños de $S$ deben ser lo más pequeñas posible.
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@user73985 Cierto que no tienen por qué ser los más pequeños pero es un punto de partida fácil. Además la forma en que surge el patrón da alguna pista de lo que está pasando. Puedes postear tu $8$ conjunto de elementos con max $30$ ?
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$\{1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 30\}$
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$\{1,3,4,5,9,14,21,28\}$
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Interesante. Tal vez el patrón obvio se rompe más en conjuntos más grandes y por lo que necesita doce números para que esto funcione. Yo sólo había comprobado hasta $21$ .
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Sólo como referencia, $\{1,2,3,5,9,15,20,25\}$ debería ser el caso óptimo para $n=8$ (es decir, no existe un conjunto de sumas de pares distintos con $8$ elementos, ninguno de los cuales supera $24$ ). También creo que el límite es $58$ para $n=11$ y $72$ para $n=12$ . Estos límites se han hallado mediante una búsqueda (esperemos que exhaustiva), por lo que es posible que no admitan una demostración elegante; a diferencia del $56$ para $n=12$ .