GRH y el rango de las curvas elípticas

Question

Recientemente he estado utilizando la calculadora Magma, y al calcular rangos de curvas elípticas con coeficientes muy grandes, existe la posibilidad de asumir que GRH es cierto, lo que acelera significativamente el cálculo.
Mi pregunta es, ¿cómo se hace más rápido el cálculo del rango de una curva elíptica asumiendo el GRH? No soy un experto en este campo, así que, por favor, que las respuestas sean lo más sencillas posible.

Answer 1

El cálculo de los rangos de curvas elípticas se basa en el descenso. El primer paso del descenso es el cálculo de un grupo Selmer finito, que a su vez utiliza el cálculo del grupo de clase de un campo numérico potencialmente grande. Este es el paso en el que se utiliza GRH: permite suponer que el grupo de clases está generado por el conjunto de ideales primos hasta un límite de norma relativamente pequeño, lo que acelera el cálculo.

Answer 2

Nota: Aquí presento el método que asume GRH cuando el rango es grande comparado al conductor.

Toma $f(x)$ sea una función tal que $f(0)=1$ y $f(x)\geq0$ para todos los reales $x$
Entonces, asumiendo la hipótesis de Riemann, la suma : $\sum f(\beta)$ donde $1/2+i\beta$ recorre los ceros no triviales de $L(s,E)$ será un límite superior para el rango analítico de $E$ Además, para determinadas opciones de $f(x)$ esta suma puede evaluarse eficientemente utilizando la fórmula explícita para el $L$ -función adjunta a $E$ , El método está disponible como parte de la obra de William Stein ( W. A. Stein et al., Purple PSAGE, The PSAGE Development Team, 2011, )