¿Por qué se llaman "smooth" a los números suaves?

Question

"Adleman se refiere a los enteros que se factorizan completamente en primos pequeños como números "suaves"." (ME Hellman, JM Reyneri. Advances in Cryptology, 1983: enlace de citación.)

¿Alguien sabe cuál es la razón intuitiva detrás de la elección del adjetivo "suave" para este concepto?

Answer 1

Le pregunté a Ron Rivest y él respondió:

Sí, acuñé el término "número suave" para referirme a un número que sólo tiene factores primos pequeños. No recuerdo mucho sobre el proceso de pensamiento, excepto que suave es más bien lo opuesto de "grumoso"...

Answer 2

Esto casi con certeza no es la justificación histórica para el término "suave", pero he encontrado que el término coincide felizmente con mi intuición analítica de suavidad. Es decir, pienso en una función escalar $f: G \to {\bf C}$ en un grupo aditivo $G$ como "suave" (o al menos "continua") si hay muchos desplazamientos $h \in G$ en los que se tiene $f(x+h) \approx f(x)$ para $x$ típico en $G$ (o más generalmente si $f(x+h)$ exhibe un comportamiento de tipo polinomial en $h). En el entorno clásico "arquimediano" del análisis sobre los reales, son las direcciones "pequeñas" $h \in G$ para las que se tiene esta constancia aproximada, pero en entornos más aritméticos, se pueden trabajar con otros conjuntos de desplazamientos. Por ejemplo, si se trabaja sobre los $p$-ádicos, se pueden considerar funciones que son "suaves" en el sentido de que $f(x+h)$ está cerca de $f(x)$ (o de otra forma se comporta de manera muy dócil respecto a h) cuando $h$ es altamente divisible por $p.

Ahora supongamos que estamos trabajando en un gran grupo cíclico ${\bf Z}/N{\bf Z}$. En este caso, un tipo de suavidad es la periodicidad (o casi periodicidad): podría haber algún subgrupo grande $H$ de ${\bf Z}/N{\bf Z}$ tal que se tenga $f(x+h)=f(x)$ (o al menos $f(x+h) \approx f(x)$) para todo $x \in {\bf Z}/N{\bf Z}$ y $h \in H. Si $N$ es suave en el sentido de no tener factores primos grandes, entonces hay un montón de subgrupos $H$ y un número de funciones suaves. Además, muchas de las funciones en ${\bf Z}/N{\bf Z}$ que surgen naturalmente en aritmética pueden ser representadas en términos de funciones suaves. Por ejemplo, si $a, b$ son clases residuales módulo $N$ y $f = f_{a,b,N}$ es la fase de Kloosterman $f(x) := e^{2\pi i (a\overline{x}+bx)/N} 1_{(x,N)=1}$, con $\overline{x}$ siendo el inverso multiplicativo de $x$ en ${\bf Z}/N{\bf Z}$, entonces una aplicación del teorema chino del resto muestra que siempre que $N = qr$ con $q,r$ coprimos, entonces $f_{a,b,N}$ se descompone como una suma $f_{a',b',q} + f_{a'',b'',r}$ para ciertos $a',b',a'',b''$, con $f_{a',b',q}$ periódica respecto a la copia de ${\bf Z}/r{\bf Z}$ en ${\bf Z}/N{\bf Z}$ y $f_{a'',b'',r}$ periódica respecto a la copia de ${\bf Z}/q{\bf Z}$. Si $N$ es suave, podemos seguir dividiendo esta fase en piezas cada vez más suaves. (Dicha descomposición, por cierto, se utilizó en el proyecto Polymath8 (siguiendo el trabajo de Graham y Ringrose) para obtener estimaciones mejoradas de sumas exponenciales que contribuyen al método de Yitang Zhang para obtener brechas acotadas entre primos).

El algoritmo de transformada rápida de Fourier en ${\bf Z}/2^N{\bf Z}$ se puede ver como un aprovechamiento de la suavidad (periodicidad aproximada) del núcleo de Fourier en este grupo, que en última instancia surge de la suavidad (sin factores primos grandes) de $2^N$, y por lo tanto es otro ejemplo de cómo la noción aritmética de suavidad encaja con la analítica.

Sin embargo, cabe mencionar que el término "suave" está un poco sobrecargado en la teoría analítica de números, en la que se requiere tanto la noción analítica (arquimediana) de suavidad como la noción aritmética (por ejemplo, al considerar sumas exponenciales sobre módulos suaves, ponderadas por una función de corte suave). Algunos autores han sugerido el término alternativo "friable" para este último concepto para reducir el conflicto; ver por ejemplo, https://blogs.ethz.ch/kowalski/2008/12/08/more-mathematical-terminology-friable/.

Answer 3

Hasta donde recuerdo la historia (según me la contó Len Adleman), Len había ideado originalmente la noción de números suaves y necesitaba un nombre apropiado para la definición. Ron sugirió llamarlos 'suaves', y aunque a Len no le gustaba mucho el término, de todos modos lo adoptó.