Teoría de categorías: ¿La existencia de$X\times (Y\times Z)$ implica la existencia de$X\times Y$?

Question

Sea $X\times Y$ el producto de los objetos $X$ y $Y$ en una categoría $C$ , definida por la propiedad universal de los productos. ¿Es cierto que la existencia del producto $X\times (Y\times Z)$ implica la existencia de $X\times Y$ ?

Answer 1

No. Considere el siguiente ejemplo mínimo. Considere la categoría con objetos

PS

y los morfismos

$$ \begin{align} \pi_1: X \times (Y \times Z) &\rightarrow X \\ \pi_2: X \times (Y \times Z) &\rightarrow Y \times X \\ \pi'_1: Y \times Z &\rightarrow Y \\ \pi'_2: Y \times Z &\rightarrow Z \\ a_1:A &\rightarrow X \\ a_2: A &\rightarrow Y \end {align} $$

y sus composiciones, es decir, $$ A, X, Y, Z, Y \times Z, X \times (Y \times Z)$ y $\pi'_1 \circ \pi_2$ .