Mostrar que un conjunto es denso en $[-1,1]$

Question

Muestra que $\{ \cos\ n:n \in \mathbb {N}\}$ es denso en $[-1,1]$ utilizando el hecho siguiente:

Supongamos que $x$ es irracional. Entonces existe $p_n,q_n \in \mathbb {Z}$ de tal manera que $ \bigg |x - \frac {p_n}{q_n} \bigg | < \frac {1}{q_n^2}$

No tengo ni idea de cómo aplicar el hecho anterior para mostrar que el conjunto es denso en $[-1,1]$ . ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Tenemos que $| \cos x- \cos y| \le |x-y|$ para todos $x,y$ por el teorema del valor medio. Esto también puede establecerse sin cálculo; véase aquí para la prueba análoga de $| \sin x- \sin y| \le |x-y|$ .

Sabemos que $ \cos (x)$ toma todos los valores entre $-1$ y $1$ como $x$ varía entre $0$ y $2 \pi $ así que, dado que $t \in [-1,1]$ empezar por encontrar $x$ en $[0,2 \pi )$ con $ \cos x=t$ . Arreglar $ \epsilon >0$ . Queremos mostrar que hay un $n$ de tal manera que $|t- \cos n|< \epsilon $ . Tenga en cuenta que $ \cos (x+2 \pi m)=t$ así como para cualquier $m \in\mathbb Z$ . Si, para algunos $n$ , $|(x+2 \pi m)-n|< \epsilon $ hemos terminado, ya que $$ |t- \cos n|=| \cos (x+2 \pi m)- \cos n| \le |(x+2 \pi m)-n|< \epsilon. $$ (El signo de $n$ es irrelevante aquí, ya que $ \cos (n)= \cos (-n)$ .)

Supongamos entonces que no es así. Arreglar $k$ con $1/k< \epsilon $ así que estamos asumiendo que $(x+2 \pi m)-n| \ge 1/k$ para cualquier $m,n$ . Considere la secuencia $x_m=\{2 \pi m\}$ donde $\{r\}$ denota el parte fraccionaria de $r$ . Debe haber $m<l$ de tal manera que $|x_m-x_l|<1/k$ . Esto es simplemente porque si miramos a más de $N$ números entre $0$ y $1$ dos de ellos deben estar dentro $1/N$ de cada uno. Desde $ \pi $ es irracional, también tenemos $0<|x_m-x_l|$ . Por último, note que $|x_m-x_l|=|2 \pi (m-l)+c|$ para algunos enteros $c$ .

Escriba $s$ para $|x_m-x_l|$ . Ahora mira los números $x,x+s,x+2s,x+3s, \dots $ . Ya que todos ellos tienen la forma $x+2 \pi a+b$ para algunos $a,b \in\mathbb Z$ debemos tener que todos ellos están a distancia por lo menos $1/k$ de cualquier número entero. Dado $n \in\mathbb N$ que $M \in\mathbb Z$ ser tal que $M+1/k \le x+ns \le M+1-1/k$ . Tenga en cuenta que $M+1/k< x+(n+1)s< M+1$ ya que $0<s<1/k$ . Pero entonces $x+(n+1)s \le M+1-1/k$ también. Esto es, por supuesto, absurdo, porque por inducción significa que si $M+1/k \le x \le M+1-1/k$ entonces las mismas desigualdades se mantienen reemplazando $x$ con $x+ns$ para cualquier $n \in\mathbb N$ .

Lo anterior parece evitar el hecho de la densidad que se le da ( El teorema de aproximación de Dirichlet ), aunque el argumento del tercer párrafo es sólo su prueba. Si se quiere utilizar el hecho de la densidad explícitamente, hay que tener en cuenta que $2 \pi $ es irracional, por lo que hay grandes y arbitrarias $q$ para el cual hay un $p$ con $$ \left |2 \pi - \frac pq \right |< \frac1 {q^2}. $$ Escoge una de estas $q$ lo suficientemente grande para que $1/q< \epsilon $ que $s=|2 \pi q-p|$ y proceder con el cuarto párrafo.

Answer 2

Pista: $ \pi $ es irracional, y la función del coseno tiene período $2 \pi $ . Intenta aproximar cualquier $ \theta\in [0,2 \pi ]$ con los números de la forma $n-2m \pi $ para números enteros $m$ , $n$ .

Answer 3

Supongamos que esto no es cierto. Entonces hay un intervalo abierto $V$ en $[-1,1]$ de tal manera que $ \cos\mathbb {N} \cap V= \emptyset $ . Desde $ \cos :[0, \pi ] \rightarrow [-1,1]$ es continua y surjectiva, la preimagen $U= \cos ^{-1}V$ es un conjunto abierto no vacío en $[0, \pi ]$ de tal manera que por cada $n,m \in\mathbb {Z}$ : $n-2 \pi m \not\in U$ . Desde $U$ está abierto y no vacío, contiene un $ \epsilon $ -subintervalo de ancho $ \Delta $ para algunos $ \epsilon >0$ . Si mostramos que en algún momento $n-2 \pi m$ cae en $ \Delta $ esto llevará a la contradicción.

Usando el hecho declarado en el problema, para cualquier $N$ hay $p,q \in\mathbb {Z}$ de tal manera que $q>N$ y $0<|2 \pi - \frac {p}{q}|< \frac {1}{q^2}$ o $0< \delta =|2 \pi q-p|< \frac {1}{q}$ . Elijamos $N$ lo suficientemente grande, para que $ \delta < \frac {1}{q}< \frac {1}{N}< \epsilon $ . Entonces, para algunos $k \in\mathbb {N}$ : $|2 \pi\cdot kq-kp|=k \delta $ cae en el $ \epsilon $ -subintervalo de ancho $ \Delta $ . Podemos elegir los signos de $q$ y $p$ para que $0<2 \pi\cdot kq-kp=k \delta\in\Delta\subseteq U$ . Esta contradicción concluye la prueba.