Es $\mathbb{H}^n$ ¿es cuasi-isométrico a una hoja de una foliación de codimensión 1 de una variedad compacta?

Question

Si ampliamos la acción de $\pi_1(\Sigma_g), g\geq 2,$ de $\mathbb{H}^2$ hasta su límite $\partial_{\infty}\mathbb{H}^2=S^1$ el haz de superficies correspondiente a esta acción de $\pi_1(\Sigma_g)$ en $S^1$ tiene una hoja que es isométrica a $\mathbb{H}^2$ . Por lo tanto, $\mathbb{H}^2$ es incluso isométrica a una hoja en una foliación de codimensión 1 de una variedad compacta.

Para $n>2$ el argumento anterior falla, y de ahí mi pregunta en el título: ¿Se sabe si para cada $n$ $\mathbb{H}^n$ es cuasi-isométrica (o incluso isométrica) a una hoja de una foliación de un (n+1)-manifold compacto?

Answer 1

Se puede generalizar su ejemplo tridimensional a todas las dimensiones en cierto sentido.

Hay hiperbólicas compactas $n$ -que tienen un grupo fundamental ordenable, ya que los grupos fundamentales se incrustan en un grupo de Artin en ángulo recto (que de hecho es bi-ordenable ), por un resultado de Haglund y Wise . Sea $M=\mathbb{H}^n/\Gamma$ sea un colector de este tipo, con una acción fiel $\Gamma \to Homeo^+(\mathbb{R})$ (esto equivale a ser ordenable), y considerar el producto trenzado $(\mathbb{H}^n \times \mathbb{R})/ \Gamma$ , donde $\Gamma$ actúa en diagonal. La foliación $\mathbb{H}^n\times \{x\}$ desciende naturalmente a una foliación en el cociente. Este colector es homeomorfo a $M\times \mathbb{R}$ Así pues, se incrusta en $M\times [-\infty,\infty]$ donde el límite $M\times \{\pm\infty\}$ son hojas de la foliación. Hay un punto $x\in\mathbb{R}$ en el que $\Gamma$ actúa fielmente (en particular, la órbita induce la ordenación total en $\Gamma$ ) si la acción está bien elegida (véase la prueba del teorema 6.8 en El documento de Ghys ). Así, $(\mathbb{H}^n \times \{\Gamma x\})/\Gamma \cong \mathbb{H}^n$ por lo que hay una hoja de la foliación que es una copia de $\mathbb{H}^n$ . Dado que está uniformemente cerca de $\tilde{M}\times \{\infty\}$ en la cubierta universal, será cuasimétrica a $\tilde{M}=\mathbb{H}^n$ . Pegamento $M\times{-\infty}$ a $M\times \{\infty\}$ para obtener un colector cerrado $M\times S^1$ con la propiedad deseada (en realidad, estamos incrustando $Homeo^+(\mathbb{R})\subset Homeo^+(S^1)$ por la compactación de 1 punto, y tomando el correspondiente producto trenzado).

Answer 2

Permítanme añadir un comentario. Se sabe que una foliación de codimensión uno sin holonomía foliar debe estar dada por una acción Z^n, por un resultado de Sacksteder

Sacksteder, Richard Foliaciones y pseudogrupos. Amer. J. Math. 87 1965 79-102.

Así, si la foliación está definida por una acción de grupo sobre el círculo, y las órbitas son QI a un espacio hiperbólico, entonces debe haber hojas con holonomía. Esto significa que hay algún punto en el círculo para el que hay un elemento no trivial del grupo que fija el punto. Tal vez esto se pueda utilizar para demostrar que no existen tales acciones. En cualquier caso, demuestra que no todas las hojas son QI para H^n.