Encontrar una forma cerrada de la alimentación de la serie

Question

Vamos a una potencia de la serie $$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{4n+1},$$ then $1$ is the radius of convergence of $S$ .In fact $S(x)$ convergens for each $x\in[-1,1).$ Mi trabajo es encontrar una forma cerrada de este poder de la serie.

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La siguiente es mi solución: $$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(4n+1)x^{n}-4nx^{n}}{4n+1}=\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}-4x\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{x^{n}}{4n+1})^{'}.$$then we have $$S(x)+4x S^{'}(x)=\frac{x}{1-x}.(\text{a first-order linear differential equation })\Rightarrow $$ $$\mathbf{A.}\quad S(x)=\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}[C_{1}+\frac{\ln(1+x^{\frac{1}{4}})+2\arctan(x^{\frac{1}{4}})-\ln(1-x^{\frac{1}{4}})-4x^{\frac{1}{4}}}{4}](1>x>0);$$$$\mathbf{B.}\quad S(x)=-\frac{1}{8(-x)^{\frac{1}{4}}}\begin{Bmatrix} C_{2}+8(-x)^{\frac{1}{4}}\\+2\sqrt{2}\arctan[1-\sqrt{2}(-x)^{\frac{1}{4}}]-2\sqrt{2}\arctan[1+\sqrt{2}(-x)^{\frac{1}{4}}]\\+ \sqrt{2}\ln[1-\sqrt{2}(-x)^{\frac{1}{4}}+\sqrt{-x}]-\sqrt{2}\ln[1+\sqrt{2}(-x)^{\frac{1}{4}}+\sqrt{-x}] \end{Bmatrix}\quad(-1\leq x<0).$$

Desde $S(0)=0$ $S(x)$ es continua en a $x=0$ , llego a la conclusión de que $C_{1}=C_{2}=0.$

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No estoy seguro de que mi solución es correcta .Necesito a alguien para comprobar mi respuesta,o Si usted tiene algunas buenas ideas acerca de cómo resolver esta cuestión ,por favor, dame algunas pistas.Cualquier ayuda va a ser apreciado!

Answer 1

Sugerencia. Usted puede considerar los siguientes derivados $$ \left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{4n+1}\right)'=\sum_{n=0}^{\infty}x^{4n}=\frac1{1-x^4},\quad |x|<1. $$ Then, integrating the power series termwise for $|x|<1$ (lo cual es posible), se obtiene $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{4n+1}=\int_0^x\frac1{1-t^4}dt=\int_0^x\left(\frac{1}{4 (1-t)}+\frac{1}{4 (1+t)}+\frac{1}{2 \left(1+t^2\right)}\right)dt $$ dar fácilmente

$$ \sum_{n=\color{red}{1}}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{4n+1}=\frac14 \ln \left(\frac{1+x}{1-x} \right)+\frac12\arctan x-x, \quad |x|<1, $$

a partir de la que se deduzca su serie inicial dividiendo la primera por $x$, a continuación, poner $x \to x^{1/4}$.