Espectros en diferentes espacios

Question

Esta es una petición de método: Estoy buscando técnicas que me permitan investigar problemas como éste:

Dejemos que $T_1: \ell^1 \rightarrow \ell^1$ sea un operador acotado con $\Re(\sigma(T_1)) \subset (-\infty,0].$ (la parte real del espectro no es estrictamente positiva)

Supongamos ahora que este operador tiene una extensión acotada $T_2:\ell^2 \rightarrow \ell^2.$ ¿Es posible derivar condiciones significativas bajo las cuales $\Re(\sigma(T_2)) \subset (-\infty,0].$

La teoría espectral en diferentes espacios no suele tratarse en ningún sitio, así que me preguntaba si existe algo en ese sentido.

Answer 1

Sé que hace tiempo que se hizo esta pregunta, pero creo que el libro "Linear Operators and their Spectra" de E. Brian Davies podría contener alguna información sobre lo que se pregunta aquí. En particular, el libro contiene un par de resultados sobre operadores "consistentes" y espacios de Banach "compatibles".

Creo que se puede decir bastante si el espectro esencial de $T_1$ y $T_2$ no se interpongan demasiado en el camino. En particular, parece que $\sigma(T_1)=\sigma(T_2)$ si sus dos operadores son de Riesz (véase el teorema 4.2.15 para el caso en que ambos operadores son compactos; creo que la demostración es literal para los operadores de Riesz en general).

Por desgracia, las cosas son menos sencillas cuando los operadores tienen espectros esenciales diferentes (véase, por ejemplo, el ejemplo 2.2.11).