Submanifolds totalmente geodésicos

Question

Supongamos que %-%-% es un submanifold totalmente geodésico de un colector Riemanniano completo %-%-%. ¿Es el caso de que un segmento geodésico que minimice la longitud en el submanteido %-%-% también minimice la longitud en el colector ambiental %-%-%?

Answer 1

Deje que %-%-% sea el cilindro plano %-%-% y %-%%, que es un geodésico (por lo tanto, un submanículo totalmente geodésico completo de %-%-%) minimizar entre dos puntos cualquiera de %-%-% (entre la geodésica de %-%-%). Sin embargo, el minimizamiento de la geodésica en %-%-% entre los puntos %-%-% y %-%-%%%.%.%.%.%.%.%.%.%.%.%.%.%.%.%.%.''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

Answer 2

Como para un ejemplo en el que se ha completado %-%-%: corta una esfera de 2 justo encima y por debajo de un gran círculo. Mantenga la pieza que contiene el gran círculo. Pegue discos planos a lo largo de los límites resultantes y alisa la superficie cerca de los límites.

Answer 3

¿Qué pasa con %-%-% una esfera euclidiana, y %-%-% un gran círculo menos un punto?