Cálculo de $\pi_4$ de grupos de Lie simples

Question

A continuación suponemos un grupo de Lie simple cualquiera $G$ para estar simplemente conectados.

$\pi_3(G)=\mathbb{Z}$ para cualquier grupo de Lie simple $G$ y hay una prueba uniforme para ello.

Ahora los libros de texto dicen $\pi_4(G)$ es trivial excepto por $G=Sp(n)$ para lo cual es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .

Mi pregunta es la siguiente: ¿existe una manera uniforme de derivar este hecho, de manera que se demuestre qué propiedad del grupo simpléctico es tan especial?

Answer 1

Como respuesta parcial, he aquí al menos un enunciado uniforme, que puede encontrarse como Teorema 3.10 en el estudio de Mimura "Homotopy theory of Lie groups" en el Handbook of Algebraic Topology:

Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie simple, compacto y conexo, $T$ un toro maximal de $G$ , $\mathbb{R}^r$ su cobertura universal y $\Gamma$ la imagen inversa de la identidad en $\mathbb{R}^r$ . Dejemos que $a$ sea la raíz dominante con respecto a algún orden lexicográfico de las raíces de $G$ . Entonces $\pi_4(G)$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ si el hiperplano $a=1$ contiene un punto de $\Gamma$ y $0$ de lo contrario.

(En el artículo de la encuesta, la declaración tiene un $\mathbb{Z}$ donde escribí $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ pero parece ser una errata).

Mimura se refiere al documento

• R. Bott y H. Samelson. Aplicaciones de la teoría de Morse a los espacios simétricos. Amer. J. Math. 80 (1958), 964-1029.

No puedo comprobarlo ahora mismo, pero la afirmación uniforme sugiere una prueba uniforme, relacionando el cuarto grupo de homotopía con la información sobre el sistema de raíces. Parece que la diferencia que distingue a los grupos simplécticos es que las raíces largas son divisibles (por 2, por cierto) en el grupo de caracteres.

Answer 2

Dado que está haciendo una pregunta sobre $\pi_4$ Para ello, vamos a utilizar un poco de teoría de la homotopía, y para empezar, podemos reflexionar sobre los grupos de Lie compactos.

Considere primero $G=Sp(1)=SU(2)=S^3$ . Es bien sabido que $\pi_4(S^3) = \mathbb Z/2$ .

Ahora vamos a comparar y contrastar $SU(3)$ con $Sp(2)$ . $SU(3)/SU(2) = S^5$ , mientras que $Sp(2)/Sp(1) = S^7$ y estos conducen a secuencias de fibración $ S^3 \rightarrow SU(3) \rightarrow S^5$ y $ S^3 \rightarrow Sp(2) \rightarrow S^7$ . Las secuencias exactas largas asociadas de los grupos de homotopía hacen evidente que $\pi_4(Sp(2)) = \mathbb Z/2$ Lo más sorprendente desde esta perspectiva es que $\pi_4(SU(3)) = 0$ .

En general, los espacios homogéneos bien elegidos (= altamente conectados) $G/H$ dejar que uno llegue a $\pi_*(G)$ desde el conocimiento de $\pi_*(H)$ para $*$ no demasiado grande. Por ejemplo, $G_2/SU(3) = S^6$ Así que $\pi_4(G_2) = 0$ .

Por último, he aquí un método general: Dejemos que $G\langle 3\rangle$ sea la fibra de la clase fundamental $G \rightarrow K(\mathbb Z,3)$ . Entonces $\pi_4(G) = \pi_4(G\langle 3\rangle) = H_4(G\langle 3\rangle;\mathbb Z)$ . Entonces se puede intentar llegar a este grupo de homología utilizando la secuencia espectral de Serre asociada a la fibración $K(\mathbb Z,2) \rightarrow G\langle 3 \rangle \rightarrow G$ .

En varios artículos, M. Mimura ha realizado muchos análisis de este tipo y, en particular, calcula las primeras dos docenas de grupos de homotopía de todos los grupos de Lie excepcionales.

Answer 3

En realidad, hay una colección de declaraciones más generales que detallan la estructura del $\pi_4$ .

Primero fue Browder [The Cohomology of Covering Spaces of H-Spaces] quien demostró que un espacio H finito simplemente conectado es 2-conectado. Clark [On $\pi_3$ of Finite Dimensional H-Spaces] demostró que el primer grupo de homotopía no evanescente de un espacio de bucle finito aparecía en grados 1 o 3 (el resultado que $\pi_2=0$ para un espacio H finito simplemente conectado también aparece en Browders [Torsion in H-Spaces], ver también Lin's [The First Homotopy Group of a Finite H-Space]). Kane y Hubbuck [On $\pi_3$ de un espacio H finito] demuestran que $\pi_3$ es libre de torsión, basándose en el trabajo anterior de Thomas y Lin que requería supuestos más estrictos (el grupo de Lie $E_8$ no entra en los requisitos de Thomas, por ejemplo).

Finalmente Hubbuck [Homotopy Groups of Finite H-Spaces] estudió $\pi_4$ , demostrando que era una suma directa de grupos finitos de orden 2. La prueba utiliza la secuencia exacta de JHC Whitehead (véase Baues [Homotopy Type and Homology] para una buena discusión), identificando los grupos que aparecen dentro utilizando el trabajo de otros. El resultado final es una secuencia exacta

$H_5(X;\mathbb{Z})\xrightarrow{\rho_2} H_5(X;\mathbb{Z}_2)\xrightarrow{Sq^2_*}H_3(X;\mathbb{Z}_2)\rightarrow \pi_4X\rightarrow0$

Y sabemos que $H_3(X;\mathbb{Z}_2)=\oplus\,\mathbb{Z}_2$ del teorema de Hurewicz y del trabajo de Kane y Hubbuck por lo que el resultado sobre $\pi_4X$ sigue.

Harper afirma que si $X$ está simplemente conectado y $H_*(\Omega X;\mathbb{Z})$ es libre de torsión entonces el resultado se desprende del trabajo previo de Bott y Samelson [Aplicaciones de la teoría de Morse a los espacios simétricos].