Consideremos un cuadrado conmutativo en una categoría $\mathcal{C}$ $$\begin{array}{ccc} A&\rightarrow&B\\\ \downarrow&&\downarrow\\\ C&\rightarrow&D \end{array}$$ Supongamos que $\mathcal{C}$ es abeliana. Si este cuadrado es un pull-back y $B\rightarrow D$ o $C\rightarrow D$ es un epimorfismo, entonces este cuadrado es también un cuadrado expulsado. A su vez, si este cuadrado es un push-out y $A\rightarrow B$ o $A\rightarrow C$ es un monomorfismo, entonces este cuadrado es también un cuadrado de retroceso. ¿Existen tipos de categorías más generales en las que ocurran estas cosas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
¡Sí! Pretopos (y en particular los topos) también tienen esta propiedad. Es un hecho notable que las pretopos (que se puede pensar que tienen las propiedades de exactitud de primer orden de las topos o $Set$ -) tienen "la mayoría" de las mismas propiedades de exactitud que las categorías abelianas (véase más adelante).
De hecho, este es el comienzo de un notable conjunto de observaciones debidas a Peter Freyd, y expuestas por él en un debate en la lista de correo de categorías, lo que llevó a una clara distinción entre pretopos y categorías abelianas, concentrada particularmente en el comportamiento del objeto inicial. (En una categoría abeliana, $A \times 0 \cong A$ mientras que en un pretopos $A \times 0 \cong 0$ . Pero ésta es prácticamente la única diferencia esencial). De hecho, Freyd demostró que las categorías abelianas y las pretopos son casos especiales de lo que denominó "categorías AT", que contienen las propiedades de exactitud esenciales que son comunes a las categorías abelianas y a las pretopos. Las categorías AT se acercan tanto a la esencia de cada uno de estos dos casos especiales que, de hecho, ¡toda categoría AT se divide limpiamente como un producto de una categoría abeliana y un pretopos!
Yo escribí mi propio relato de esto en el nLab, aquí .
