Coincidencias entre los espacios de clasificación y los espacios de Eilenberg Mac-Lane

Question

Dado que$$\mathbb{R}P^{\infty} = B O(1) = K(\widehat{O(1)}, 1)$$ $$\mathbb{C} P^{\infty} = B U(1) = K( \widehat{U(1)}, 2)$$ is there any way to make sense of $$\mathbb{H}P^{\infty} = B Sp(1)$$ in a similar manner using the representation theory of the non-abelian group $ Sp (1) \ cong Spin (3) \ cong SU (2) $?

Answer 1

Hay un paquete principal $$Sp(1)\to S^{4n+3} \to \mathbb{H}P^n$ $ por cada$n$, que al pasar al límite muestra que$$\pi_i(\mathbb{H}P^\infty)\cong\pi_{i-1}(Sp(1))=\pi_{i-1}(S^3)$ $ por cada$i$. En particular,$\mathbb{H}P^\infty$ no es un espacio de Eilenberg-Mac Lane.

Sin embargo, esto implica que 'es' un espacio de Eilenberg-Mac Lane después de la racionalización,$$\mathbb{H}P^\infty\simeq_{\mathbb{Q}}K(\mathbb{Z},4).$ $