Teorema de vecindad tubular para subvariedades$C^1$

Question

¿Alguien puede hacer referencia / refutar el teorema en el caso de que la subvariedad incorporada sea simplemente$C^1$ en lugar de suave? Tengo una subvariedad compacta$C^1$ incrustada de$\mathbb{R}^n$ sin límite que quiero mostrar que existe una vecindad tubular (con el radio del tubo no necesariamente constante). En realidad, quiero poder crear uno por partes utilizando un recubrimiento finito. Muy agradecido.