Polinomio positivo en un intervalo

Question

Si $p$ es un polinomio con coeficientes reales y p(x)>0 en [0,1], entonces $p(x)=\sum c_{i,j} x^i(1-x)^j$ con $c_{i,j}$ positivo. Sé que esto es cierto pero necesito una prueba/referencia. Gracias.

Answer 1

En el segmento $[0,\infty)$ la declaración análoga dice lo siguiente:

Teorema 1 . Si $f(x)>0$ para todos $x\geqslant 0$ , entonces para ciertos enteros no negativos $m$ el polinomio $f(x)(1+x)^m$ tiene coeficientes positivos.

Prueba. Por el Teorema Fundamental del Álgebra, $f(x)=C\prod_i (x+a_i)\prod_j (x^2-2b_jx+c_j)$ para algunos $C>0$ , $a_i>0$ y $c_j>b_j^2$ . Así que basta con encontrar tal $m$ para un trinomio cuadrático $x^2-2bx+c$ , $c>b^2$ . La positividad de los coeficientes se lee como $${n\choose k-1}-2b{n\choose k}+c{n\choose k+1}>0, k=0,1,\ldots,n.$$ Esto equivale, después de multiplicar por $(k+1)!(n-k+1)!/n!$ , a $$k(k+1)-2b(k+1)(n-k+1)+c(n-k)(n-k+1)>0.$$ Esta desigualdad es cuadrática en $k$ con el coeficiente principal $c+1-2b\geqslant 2\sqrt{c}-2b>0$ y el discriminante de la forma $4n^2(b^2-c)+An+B$ que es negativo para grandes $n$ .

Obsérvese que la prueba también sugiere algún límite para $m$ lo cual es suficiente con seguridad en términos de factores cuadráticos de $f$ .

Ahora podemos reducir el intervalo finito al intervalo infinito mediante un cambio lineal fraccionario de variables.

En concreto, si $p(x)>0$ para $x\in [0,1]$ y $\deg p=d$ entonces el polinomio $h(x)=p((1+x)^{-1})(1+x)^d$ es un positivo para $x\geqslant 0$ polinomio de grado $d$ por lo que por el Teorema 1 podemos encontrar $m\in \mathbb{Z}_+$ para lo cual $$p((1+x)^{-1})(1+x)^{d+m}=h(x)(1+x)^m=\sum_{k=0}^{d+m} c_k x^k, c_k>0.$$ Queda por sustituir $x=(1-t)/t$ .

El teorema 1 fue propuesto por los Países Bajos (concretamente por N. G. de Brujin) a la OMI 1997, aunque admito que se conocía antes.