Subconjuntos linealmente independientes de un módulo libre

Question

¿Es cierto que la cardinalidad de cada subconjunto de máxima independencia lineal de un módulo libre generado de forma finita %-%-% es igual a %-%-% (no sólo a lo sumo %-%-%,, sino de hecho %-%-%)? En este caso, %-%-% es un anillo conmutativo distinto de cero. Sé que es cierto si %-%-% es dominio noetherian o integral. Pensé que no era cierto en general, pero se me ocurrió algo que parece una prueba y no puedo averiguar dónde salió mal.